L araçlarının t= 0 annda şekildeki konumlardayken
aralarında 36 m mesafe olduğunu ve K ile L araçlarının
hizlarinin sirasıyla 16 m/s ve 4 m/s olduğunu sõylüyor.
Güngör Öğretmen sınifa “Bu araçlar kaç saniye sonra yan
yana gelir?” diye soruyor.
m/s
36 m-
Sınıftaki bir öğrencinin soruya doğru cevap
verebilmesi için aşağıdaki matematiksel modellerden
hangisini kullanmasi gerekir?
Bir Boyutta Sabit Hızlı Hareket: Yakalama Problemi ve Matematiksel Modeli
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Aynı yönde hareket eden iki cismin aralarındaki mesafeyi kapatması için bağıl hareket veya konum denklemi kullanılır:
\Delta x = (v_K - v_L) \cdot t \quad \text{veya} \quad x_K(t) = x_L(t)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Konum Denklemlerinin Kurulması
t = 0 anında K aracının bulunduğu konumu referans noktası (x = 0\text{ m}) seçelim. Bu durumda L aracının başlangıç konumu x = 36\text{ m} olur. Araçların zamana bağlı konum denklemleri:
x_K(t) = v_K \cdot t = 16 \cdot t
x_L(t) = x_0 + v_L \cdot t = 36 + 4 \cdot t
Adım 2 — Yan Yana Gelme Şartının Uygulanması (Matematiksel Model)
Araçların yan yana gelebilmesi için aynı t anında aldıkları yolların ve konumların eşitlenmesi gerekir:
x_K(t) = x_L(t)
16 \cdot t = 36 + 4 \cdot t
Denklem düzenlendiğinde kullanılan temel matematiksel model:
(16 - 4) \cdot t = 36 \implies 12 \cdot t = 36
t = \frac{36}{16 - 4}
Adım 3 — Sürenin Hesaplanması
Denklem çözülerek araçların kaç saniye sonra yan yana geleceği bulunur:
t = \frac{36}{12} = 3\text{ s}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
Kullanılması gereken matematiksel model:
\mathbf{\Delta x = (v_K - v_L) \cdot t} \quad \text{yani} \quad \mathbf{(16 - 4) \cdot t = 36} \quad \text{veya} \quad \mathbf{16t = 36 + 4t}
(Araçlar t = 3\text{ s} sonra yan yana gelir.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Bağıl Hız: Aynı yönde hareket eden araçların birbirine yaklaşma hızı, hızlarının farkına eşittir (v_{\text{bağıl}} = v_K - v_L = 16 - 4 = 12\text{ m/s}).
- Kapanma Mesafesi: İki araç arasındaki başlangıç mesafesi (36\text{ m}), bağıl hız yardımıyla kapatılır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Hızları toplamak: (16 + 4) \cdot t = 36.- Doğru Yaklaşım: Araçlar zıt yönde birbirine doğru gitseydi hızlar toplanırdı; ancak aynı yönde hareket ettikleri için arkadaki aracın öndekini yakalaması hızlar farkı ile mümkündür: (16 - 4) \cdot t = 36.
Araçların birbirine doğru zıt yönlerde hareket ettiği durum için de bir örnek çözmek ister misin?