X-=
bul
X b
-6
Kyrt Sraleinn
lo-5
14s4
(4) 03.625/ -
Bascml.
deg
bu
sf
kacar
sonaon
eoa bas 9 dur)
Ödev Sayfasındaki Üslü Sayı Sorularının Çözümleri
1. Soru: (2x-4)^{x^2-4} = 1 Eşitliğini Sağlayan x Değerleri
KULLANILAN KURAL:
a^b = 1 eşitliğinin sağlanması için 3 durum incelenir:
- a \neq 0 olmak üzere b = 0 olmalıdır (0^0 belirsizdir).
- a = 1 olmalıdır (1^{\text{sayı}} = 1).
- b çift tam sayı olmak üzere a = -1 olmalıdır ((-1)^{\text{çift}} = 1).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Üssün Sıfır Olma Durumu (x^2 - 4 = 0)
- x^2 - 4 = 0 \implies x = 2 veya x = -2 bulunur.
- x = 2 kontrolü: Taban 2(2) - 4 = 0 olur. 0^0 ifadesi belirsiz olduğu için x = 2 alınamaz.
- x = -2 kontrolü: Taban 2(-2) - 4 = -8 \neq 0 olur. (-8)^0 = 1 sağlandığı için x = -2 bir çözümdür.
Adım 2 — Tabanın 1 Olma Durumu (2x - 4 = 1)
- 2x - 4 = 1 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} olur.
- 1^{\text{sayı}} = 1 kuralından dolayı x = \frac{5}{2} bir çözümdür.
Adım 3 — Tabanın -1 ve Üssün Çift Tam Sayı Olma Durumu
- 2x - 4 = -1 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} bulunur.
- x = \frac{3}{2} değerini üs ifadesinde yerine koyalım:x^2 - 4 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 4 = \frac{9}{4} - 4 = -\frac{7}{4}
- -\frac{7}{4} bir çift tam sayı olmadığı için x = \frac{3}{2} çözüm olamaz.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: x değerleri kümesi \left\{-2, \frac{5}{2}\right\}'dir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
2. Soru: x, y, z Sayılarının Sıralanışı
KULLANILAN KURAL:
- \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n
- \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — x Değerini Hesaplama
x = \frac{15^6}{3^6} = \left(\frac{15}{3}\right)^6 = 5^6
Adım 2 — y Değerini Hesaplama
y = 64^{-1} = \frac{1}{64}
Adım 3 — z Değerini Hesaplama
z = \left(\frac{1}{5}\right)^{-6} = \left(5^{-1}\right)^{-6} = 5^6
Adım 4 — Değerleri Karşılaştırma
- x = 5^6
- z = 5^6
- y = \frac{1}{64}
- y < 5^6 olduğu için y < x = z bağıntısı elde edilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: y < x = z
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
3. Soru: \frac{10^{11}}{5^{-3} \cdot 2^{-3}} İşleminin Sonucu Kaç Basamaklıdır?
KULLANILAN KURAL:
- a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n
- \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
- 10^n sayısı 1 ve ardından gelen n tane sıfır olmak üzere (n+1) basamaklıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Paydadaki Çarpımı Düzenleme
5^{-3} \cdot 2^{-3} = (5 \cdot 2)^{-3} = 10^{-3}
Adım 2 — Bölme İşlemini Yapma
\frac{10^{11}}{10^{-3}} = 10^{11 - (-3)} = 10^{11 + 3} = 10^{14}
Adım 3 — Basamak Sayısını Belirleme
- 10^{14} = 1 \underbrace{00\ldots0}_{14 \text{ tane sıfır}}
- Toplam basamak sayısı: 1 + 14 = 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 15 basamaklıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
4. Soru: 128 \cdot 625 \cdot \left(\frac{1}{0{,}128}\right) - 1 İşleminin Sondan Kaç Basamağı 9’dur?
KULLANILAN KURAL:
- Bir tam sayının sonunda k tane sıfır (0) varsa, bu sayıdan 1 çıkarıldığında elde edilen sayının sondan k basamağı 9 olur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Ondalık Kesri Dönüştürme
0{,}128 = \frac{128}{1000} \implies \frac{1}{0{,}128} = \frac{1000}{128}
Adım 2 — Çarpma İşlemini Sadeleştirme
128 \cdot 625 \cdot \frac{1000}{128} = 625 \cdot 1000 = 625\,000
Adım 3 — 1 Çıkararak Son Basamakları Bulma
625\,000 - 1 = 624\,999
- 625\,000 sayısının sonunda 3 tane sıfır olduğundan, 1 çıkarılınca son 3 basamağı 9 olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Sondan 3 basamağı 9’dur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- 0^0 Belirsizliği: Taban ve üs aynı anda 0 olamaz. Üslü denklem çözerken üssü sıfır yapan kökler mutlaka tabanda denenmelidir.
- Basamak Sayısı: A \cdot 10^n biçimindeki sayılarda basamak sayısı (A\text{'nın basamak sayısı}) + n formülü ile hesaplanır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yanlış: 1. soruda x^2-4=0 \implies x=2 değerini direkt kök kabul etmek.- Doğru: x=2 için taban da 0 olduğundan 0^0 tanımsızlığını fark edip bu kökü elemek.
Bu sorularda aklına takılan veya daha detaylı açıklamamı istediğin bir adım var mı?