Kuvvet ve hareket ile ilgili soru: K ve L cisimleri kaç saniye sonra çarpışır?
Soru:
Hava sürtünmesinin önemsiz olduğu bir ortamda, K ve L cisimleri birbirlerine doğru sırasıyla 20 m/s ve 50 m/s hızlarla aynı anda fırlatılıyor. K cismi 70 m yüksekte ve aşağı doğru hareket ediyor, L cismi ise yerden yukarı doğru hareket ediyor. Buna göre, cisimler kaç saniye sonra çarpışırlar? (g=10 \, m/s^2)
Cevap:
Bu tip sorularda, cisimlerin hareketlerini zamana bağlı olarak konum denklemleriyle ifade edip, çarpıştıkları zamanı bulmak gerekir.
İçindekiler
- Verilenler ve Bilinmeyenler
- Hareket Denklemlerinin Kurulması
- Çarpışma Anının Hesaplanması
- Sonuç ve Doğru Seçenek
- Özet Tablosu
1. Verilenler ve Bilinmeyenler
| Büyüklük | Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| K cisminin ilk hızı (v_{K0}) | 20 \, m/s (aşağı) | Yukarıdan aşağı doğru hız |
| L cisminin ilk hızı (v_{L0}) | 50 \, m/s (yukarı) | Yerden yukarı doğru hız |
| K cisminin ilk yüksekliği (h_K) | 70 \, m | K cisminin yerden yüksekliği |
| Yer yüksekliği (h_L) | 0 \, m | L cismi yerden başlıyor |
| Yerçekimi ivmesi (g) | 10 \, m/s^2 | Aşağı yön pozitif kabul edilir |
| Hava sürtünmesi | İhmal ediliyor | Sürtünme etkisi yok |
| Aranılan | Çarpışma zamanı (t) | Cisimlerin çarpıştığı an |
2. Hareket Denklemlerinin Kurulması
Öncelikle koordinat sistemini belirleyelim:
- Yukarı yön pozitif, aşağı yön negatif olsun.
- K cismi 70 m yüksekte ve aşağı doğru hareket ediyor.
- L cismi yerden yukarı doğru hareket ediyor.
K cisminin hareketi:
Başlangıç yüksekliği: y_{K0} = 70 \, m
Başlangıç hızı: v_{K0} = -20 \, m/s (aşağı doğru olduğu için negatif)
İvme: a = g = 10 \, m/s^2 (aşağı yön pozitif, K aşağı doğru hareket ettiği için hız artacak)
Konum denklemi (yukarı pozitif):
y_K(t) = y_{K0} + v_{K0} t + \frac{1}{2} a t^2 = 70 - 20 t + 5 t^2
L cisminin hareketi:
Başlangıç yüksekliği: y_{L0} = 0 \, m
Başlangıç hızı: v_{L0} = +50 \, m/s (yukarı doğru)
İvme: a = -g = -10 \, m/s^2 (yerçekimi aşağı yönlü, yukarı pozitif olduğundan negatif ivme)
Konum denklemi:
y_L(t) = y_{L0} + v_{L0} t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + 50 t - 5 t^2 = 50 t - 5 t^2
3. Çarpışma Anının Hesaplanması
Çarpışma anında cisimlerin konumları eşit olur:
y_K(t) = y_L(t)
Yerine yazalım:
70 - 20 t + 5 t^2 = 50 t - 5 t^2
Denklemi düzenleyelim:
70 - 20 t + 5 t^2 - 50 t + 5 t^2 = 0
70 - 70 t + 10 t^2 = 0
Her terimi 10’a bölelim:
7 - 7 t + t^2 = 0
Yani:
t^2 - 7 t + 7 = 0
Kökleri bulalım:
t = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 28}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{21}}{2}
\sqrt{21} \approx 4.58
İki kök:
t_1 = \frac{7 - 4.58}{2} = \frac{2.42}{2} = 1.21 \, s
t_2 = \frac{7 + 4.58}{2} = \frac{11.58}{2} = 5.79 \, s
Zamanın anlamlı olanı:
- Cisimler ilk çarpışmayı erken zamanda yapacaklar, yani t=1.21 \, s anlamlıdır.
- t=5.79 \, s ise muhtemelen cisimlerin tekrar aynı konumda oldukları başka bir zamandır.
4. Sonuç ve Doğru Seçenek
1.21 \, s yaklaşık olarak \frac{4}{3} = 1.33 \, s seçeneğine en yakın değerdir.
Seçeneklerde:
- D şıkkı: \frac{4}{3} \approx 1.33 saniye
Bu nedenle doğru cevap D şıkkıdır.
5. Özet Tablosu
| Adım | İşlem / Denklem | Sonuç / Yorum |
|---|---|---|
| K cisminin konumu | y_K = 70 - 20 t + 5 t^2 | Yukarı pozitif, aşağı hız negatif |
| L cisminin konumu | y_L = 50 t - 5 t^2 | Yukarı pozitif, yukarı hız pozitif |
| Çarpışma koşulu | y_K = y_L | 70 - 20 t + 5 t^2 = 50 t - 5 t^2 |
| Denklemin sadeleşmesi | t^2 - 7 t + 7 = 0 | İkinci dereceden denklem |
| Kökler | t = \frac{7 \pm \sqrt{21}}{2} | t_1 = 1.21 s, t_2 = 5.79 s |
| Anlamlı zaman | t = 1.21 s | İlk çarpışma zamanı |
| Yaklaşık seçenek | 1.21 \approx \frac{4}{3} = 1.33 | D şıkkı doğru |
Özet
- K ve L cisimlerinin konum denklemleri yazıldı.
- Çarpışma anı için konumları eşitlenip ikinci dereceden denklem çözüldü.
- Anlamlı kök t=1.21 saniye bulundu.
- Bu değer seçeneklere en yakın olarak D şıkkı: \frac{4}{3} saniye.
Kuvvet hareket ile alakalı soru
İçindekiler
- Soru Detayı
- Koordinat Sistemi ve İşaretleme
- Hareket Denklemlerinin Kurulması
- Çarpışma Zamanının Hesaplanması
4.1. Yöntem 1: Konum Denklemleriyle Çözüm
4.2. Yöntem 2: Bağıl Hız Yaklaşımı - Sonuç ve Şıkların Karşılaştırılması
- Özet Tablosu
- Özet ve Anahtar Noktalar
- Kaynaklar
1. Soru Detayı
Hava sürtünmesinin ihmal edildiği bir ortamda, aralarında 70 m mesafe bulunan K ve L cisimleri aynı anda birbirlerine doğru fırlatılıyor:
- K cismi, yukarıdan aşağı doğru 20 m/s ilk hızıyla.
- L cismi, yerden yukarı doğru 50 m/s ilk hızıyla.
- Yerçekimi ivmesi: g = 10\ \mathrm{m/s^2}.
Soru: Cisimler fırlatıldıktan kaç saniye sonra çarpışırlar?
Şıklar:
A) \tfrac{1}{3} s B) \tfrac{1}{2} s C) 1 s D) \tfrac{4}{3} s E) \tfrac{3}{2} s
2. Koordinat Sistemi ve İşaretleme
Çözümde rahatlık sağlamak için dikey ekseni y doğrultusunda aşağıya doğru negatif, yukarıya doğru pozitif kabul edelim.
- Başlangıçta L cisminin konumu y_L(0)=0\ \mathrm{m}.
- K cisminin konumu y_K(0)=70\ \mathrm{m}.
- Yukarı doğru hız pozitif, aşağı doğru hız negatif işaretlenir.
Tablo halinde parametreler:
| Cisim | Başlangıç Konumu y(0) (m) | İlk Hız v_0 (m/s) | İvme a (m/s²) |
|---|---|---|---|
| L | 0 | +50 (yukarı) | -10 (yerçekimi) |
| K | 70 | -20 (aşağı) | -10 (yerçekimi) |
3. Hareket Denklemlerinin Kurulması
Genelleştirilmiş konum denklemi (sabit ivmeli hareket için):
y(t) = y_0 + v_0\,t + \tfrac12\,a\,t^2
Buna göre:
- L cisminin bağıntısı:
y_L(t) = 0 + 50\,t - 5\,t^2 = 50t - 5t^2 - K cisminin bağıntısı:
y_K(t) = 70 - 20\,t - 5\,t^2 = 70 - 20t - 5t^2
4. Çarpışma Zamanının Hesaplanması
Cisimler çarpıştığında aynı konumda olacak, yani
y_L(t) = y_K(t)
.
4.1 Yöntem 1: Konum Denklemleriyle Çözüm
- Eşitleme:
50t - 5t^2 = 70 - 20t - 5t^2 - -5t^2 terimleri her iki tarafta da iptal olur:
50t = 70 - 20t - Terimleri toplarsak:
50t + 20t = 70
70t = 70 - Sonuç:
t = 1\ \mathrm{s}
4.2 Yöntem 2: Bağıl Hız Yaklaşımı
İki cisim birbirine doğru hareket ettiğinden, bağıl hız (birbirlerine yaklaşma hızı) toplam hızlarıdır:
- L cisminin yukarı hızı: 50\ \mathrm{m/s}
- K cisminin aşağı hızı: 20\ \mathrm{m/s}
- Yaklaşma hızı: v_\text{rel} = 50 + 20 = 70\ \mathrm{m/s}
Başlangıç mesafesi d = 70\ \mathrm{m} olduğuna göre:
t = \frac{d}{v_\text{rel}} = \frac{70}{70} = 1\ \mathrm{s}
Her iki yöntem de t=1\ \mathrm{s} sonucunu verir.
5. Sonuç ve Şıkların Karşılaştırılması
Hesaplamaya göre cisimler 1 saniye sonra çarpışır.
Şıklarda 1\ \mathrm{s} seçeneği C şıkkı olarak verilmiştir.
6. Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Koordinat ve işaretleme | Yukarı pozitif, aşağı negatif | – |
| L konum denklemi | y_L(t)=50t-5t^2 | – |
| K konum denklemi | y_K(t)=70-20t-5t^2 | – |
| Eşitleme | 50t-5t^2 = 70 -20t -5t^2 | – |
| İvme terimlerinin iptali | 50t = 70 -20t | – |
| t için çözüm | 70t = 70 \;\Rightarrow\; t=1\ \mathrm s | 1 s |
| Bağıl hız yöntemi kontrolü | t = \tfrac{70}{50+20} =1\ \mathrm s | 1 s |
7. Özet ve Anahtar Noktalar
- Cisimler birbirlerine zıt yönde hareket ettiğinde bağıl hız kullanarak hızlıca bulunabilir: v_\text{rel}=v_1+v_2.
- Sabit ivmeli harekette konum denklemlerini eşitleyerek de kesin sonuç alınır.
- Bu problemde mesafe = 70 m, yaklaşma hızı = 70 m/s olduğundan, t=1\ \mathrm s.
8. Kaynaklar
- Serway, R. A., & Jewett, J. W. (2014). Physics for Scientists and Engineers.
- OpenStax College Physics (2016). Sabit ivmeli hareket bölümü.
- Tipler, P. A., & Mosca, G. (2008). Physics for Scientists and Engineers.