Detaylı açıklama
Bu soruda sorulan: Kütlesi 2 kg olan bir K cismi, sürtünmesiz ve yüksekliği 80 m olan eğik düzlemin üst noktasından serbest bırakılıyor. Buna göre, cisim eğik düzlemin alt noktası olan T noktasından kaç m/s hız ile geçer?
Cevap:
Bir cismin yüksekliği 80 m olan sürtünmesiz bir eğik düzlemden serbest bırakılması durumunda, cisme etki eden yerçekimi potansiyel enerjisi (PE), düzlemin alt noktasına ulaştığında tamamen kinetik enerjiye (KE) dönüşecektir. Sürtünmesiz ortamda enerji kaybı olmadığı için aşağıda gösterilen enerji dönüşümü eşitliği geçerlidir:
\text{Potansiyel Enerji (PE) } = \text{ Kinetik Enerji (KE)}.
Bunu formüllerle ifade edecek olursak:
- Yüksekteki potansiyel enerji:
PE = m \cdot g \cdot h
Burada;
- ( m ) cismin kütlesidir (2 kg),
- ( g ) yerçekimi ivmesidir (genellikle ( 9{,}8 , \text{m/s}^2 ) veya yaklaşık hesaplamalarda ( 10 , \text{m/s}^2 ) alınabilir),
- ( h ) cismin bırakıldığı eğik düzlemin dikey yüksekliğidir (80 m).
- Kinetik enerji:
KE = \tfrac12 \, m \, v^2
Burada ( v ), cismin T noktasından geçerkenki (alt noktadaki) hızını temsil eder.
Enerjinin korunumu ilkesine göre:
m g h = \tfrac12 \, m \, v^2.
Denklemin her iki tarafında ( m ) ortak olduğundan sadeleşir:
g h = \tfrac12 \, v^2
ve buradan ( v ) çekilecek olursa:
v = \sqrt{2 g h}.
-
Eğer ( g = 9{,}8 , \text{m/s}^2 ) olarak alırsak:
v = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 80} \approx \sqrt{1568} \approx 39{,}6 \, \text{m/s} -
Eğer yaklaşık bir değer olarak ( g = 10 , \text{m/s}^2 ) alınırsa:
v = \sqrt{2 \times 10 \times 80} = \sqrt{1600} = 40 \, \text{m/s}.
Her iki durumda da cevap yaklaşık 40 m/s olarak bulunabilir. Soruda genelde fizik derslerinde sıkça 10 m/s² kullanıldığı için sonuç 40 m/s olarak alınır.
Konunun Detaylı İncelemesi
1. Enerji Korunumu Prensibi
Enerji korunumu, fiziğin temel ilkelerinden biridir. Bu ilkeye göre kapalı bir sistemde toplam enerji sabit kalır. Sürtünmesiz eğik düzlemde hareket eden bir cisim için en önemli enerji türleri:
- Yerçekimi potansiyel enerjisi (cisim yüksekteyken)
- Kinetik enerji (cisim hareket ediyorken)
Cisim yüksekteyken sahip olduğu yerçekimi potansiyel enerjisini, aşağıya doğru hareket ederken kinetik enerjiye dönüştürür. Çünkü sürtünme olmadığı için enerji ısı, ses vb. şekillerde kaybolmaz.
2. Yükseklik ve Eğik Düzlem Uzunluğu Arasındaki İlişki
Bir eğik düzlemde cismin kat ettiği “düzlem boyu” ile “dikey yüksekliği” farklı iki kavramdır.
- Dikey yükseklik (h): 80 m olarak verilmiştir.
- Eğik düzlemin boyu: Eğik düzlemin farklı bir özelliğidir ve soru metninde 45 m gibi bir değerden söz edilebilir. Fakat bu uzunluk, cismin potansiyel enerjisini belirleyen unsur değildir. Potansiyel enerjiyi belirleyen temel faktör, cismin dikey yüksekliğidir.
Bu tür sorularda, açının ya da düzlemin boyunun önemi, sürtünme varsa veya hareket boyunca ivmenin bileşenleriyle ayrıntılı inceleme yapılacaksa gündeme gelir. Fakat sürtünmesiz ve sabit bir yükseklikle karşılaştığımızda, cismin kazandığı hız yalnızca potansiyel enerjisine bağlıdır.
3. Kütlenin Etkisi
Bu problemde kütle değeri (2 kg) verilmesine rağmen, sürtünmesiz eğik düzlem hareketinde T noktasından geçerkenki hızın değeri (kütle) bağımsız çıkar. Çünkü hem potansiyel enerjide (mgh) hem de kinetik enerjide ((\tfrac12 m v^2)) kütle “m” olduğu için sadeleşir. Dolayısıyla daha ağır ya da hafif bir nesne, sürtünme olmaksızın aynı yükseklikten bırakıldığında aynı hızla yere ulaşır.
4. Yerçekimi İvmesi (g)
Fizik sorularında sıklıkla (,g = 9{,}8 , \text{m/s}^2) veya yaklaşık hesaplamalarda (,g = 10 , \text{m/s}^2) alınır. Öğretmenlerin veya sınavların yönlendirmesine göre hangi değeri kullanacağınız belirlenir. Ortaöğretim ve üniversite sorularında çoğunlukla 9,8 m/s² alındığı görülse de, kolaylık açısından 10 m/s² değeri de kullanılabilir.
5. Sonuç
Yukarıdaki açıklamalara dayanarak, sürtünmesiz bir eğik düzlemde yüksekliği 80 m olan noktadan serbest bırakılan 2 kg kütleli cismin, düzlemin alt noktasından geçiş hızı:
- Yaklaşık 40 m/s (eğer g = 10 m/s² alınırsa),
- Yaklaşık 39,6 m/s (eğer g = 9,8 m/s² alınırsa).
Dolayısıyla sorunuzun cevabı çoğu zaman 40 m/s olarak yuvarlanır ve verilir.
Adım Adım Çözüm Özeti Tablosu
| Adım | Yapılan İşlem | Formül / Açıklama | Sonuç / Değer |
|---|---|---|---|
| 1 | Potansiyel enerjiyi hesapla | ( PE = m g h ) | ( PE = 2 \cdot g \cdot 80 ) |
| 2 | Kinetik enerji ifadesi | ( KE = \tfrac12 m v^2 ) | |
| 3 | Enerji korunumu | ( m g h = \tfrac12 m v^2 ) | ( 2 g h = v^2 ) |
| 4 | Hızı bulma | ( v = \sqrt{2 g h} ) | ( \sqrt{2 \cdot g \cdot 80} ) |
| 5 | Yaklaşık hız değeri (g=10 m/s²) | ( v = \sqrt{1600} ) | 40 m/s |
| 6 | Yaklaşık hız değeri (g=9,8 m/s²) | ( v \approx \sqrt{1568} ) | 39,6 m/s |
| 7 | Sonuç | Soruda genelde 40 m/s cevap olarak kabul edilir | 40 m/s |
Yukarıdaki tablo, çözümün temel adımlarını ve hangi formüller kullanıldığını net biçimde ortaya koymaktadır.
Cevap (kısa özet): Cisim, alt noktadan yaklaşık 40 m/s hızla geçer.