Sürtünmesiz yatay masa üzerindeki X cismi ve Y cismi aynı ipe bağlıdır. İp, O noktasındaki delikten geçirilip Y cismi aşağı sarkıtılıyor ve X cismi O noktası-sından 2 m uzakta düzgün çembersel hareket yaptı-ğında Y cismi şekildeki gibi dengede kalıyor.
Kütleler arasında m_{Y} = 2m_{X} ilişkisi olduğuna göre, X cisminin çizgisel hızı kaç m/s olur?
(g = 10 m/s^{2})
A) \sqrt{5}
B) \sqrt{10}
C) 2\sqrt{10}
D) 1
E) 10\sqrt{10}
Düzgün Çembersel Hareket Yapan X Cisminin Çizgisel Hızının Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜLLER:
-
Y cisminin denge şartı:
T = G_Y = m_Y \cdot g -
X cismi için merkezcil kuvvet bağıntısı:
F_{\text{merkezcil}} = \frac{m_X \cdot v^2}{r} -
İpteki gerilme kuvveti ile merkezcil kuvvet eşitliği:
T = F_{\text{merkezcil}} \implies m_Y \cdot g = \frac{m_X \cdot v^2}{r}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Y Cisminin Dengesinden İp Gerilmesini Bulma
Aşağı sarkan Y cismi dengede olduğuna göre, ipteki gerilme kuvveti (T), Y cisminin ağırlığına eşittir:
T = m_Y \cdot g
Adım 2 — X Cismine Etki Eden Merkezcil Kuvveti Yazma
Sürtünmesiz yatay düzlemde dairesel hareket yapan X cismini yörüngede tutan merkezcil kuvveti, aynı ipteki gerilme kuvveti (T) sağlar:
T = \frac{m_X \cdot v^2}{r}
Adım 3 — Kuvvetleri Eşitleme ve Kütle İlişkisini Yerine Koyma
İki denklem birbirine eşitlenir:
\frac{m_X \cdot v^2}{r} = m_Y \cdot g
Soruda verilen m_Y = 2m_X bağıntısı denklemde yerine yazılır:
\frac{m_X \cdot v^2}{r} = 2m_X \cdot g
Her iki taraftaki m_X kütleleri sadeleşir:
\frac{v^2}{r} = 2g \implies v^2 = 2 \cdot g \cdot r
Adım 4 — Verilen Değerleri Yerine Yazıp Hızı Hesaplama
Verilen r = 2\text{ m} ve g = 10\text{ m/s}^2 değerleri yerine konur:
v^2 = 2 \cdot 10 \cdot 2
v^2 = 40
v = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}\text{ m/s}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (2\sqrt{10}\text{ m/s})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Merkezcil Kuvvet
- Tanım: Dairesel hareket yapan bir cisme yörüngenin merkezine doğru etki eden net kuvvettir.
- Bu problemde: Yatay masa üzerinde X cismini merkeze doğru çeken tek kuvvet ip gerilmesidir (T = F_{\text{net}} = F_{\text{merkezcil}}).
2. Düşey Denge
- Tanım: Bir cismin üzerindeki düşey net kuvvetin sıfır olması durumudur.
- Bu problemde: Y cismi hareketsiz kaldığı için yukarı çeken ip gerilmesi, aşağı çeken yerçekimi kuvvetine (ağırlığa) eşit olmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kütle Sadeleştirmesini Unutmak veya Karıştırmak
- Yanlış: Formülde m_X ve m_Y kütlelerini aynı kabul edip doğrudan v^2 = g \cdot r yazmak.
- Doğru: m_Y = 2m_X oranını yazarak kütleleri doğru orantılayıp sadeleştirmek.
- Neden yanlış: Y cisminin kütlesi X’in iki katı olduğundan, sisteme etki eden gerilme kuvveti de iki kat daha büyük olur.
Bu sorudaki gibi sürtünmeli masa veya açısal hız (\omega) içeren benzer bir varyasyon çözmemi ister misin?
neden ağırlık ile merkezil kuvvet eşitlendi
İp Gerilmesinin İletilmesi ve Kuvvet Eşitliğinin Nedeni
Ağırlık ile merkezcil kuvvetin eşitlenmesinin temel sebebi, her iki cismin aynı ipe bağlı olması ve ipteki gerilme kuvvetinin (T) bu iki durumu birbirine bağlayan köprü görevi görmesidir.
Fiziksel olarak sistem şu iki aşamayla dengelenir:
1. Y Cisminin Düşey Dengesi (T = G_Y)
Aşağı sarkan Y cismi yukarı veya aşağı hareket etmeyip dengede kaldığı için üzerindeki net kuvvet sıfırdır:
- Y cismini aşağı doğru çeken kuvvet: Ağırlığı (G_Y = m_Y \cdot g)
- Y cismini yukarı doğru tutan kuvvet: İp gerilmesi (T)
Bu durumda dengenin sağlanması için:
T = G_Y = m_Y \cdot g
2. X Cisminin Çembersel Hareketi (T = F_{\text{merkezcil}})
Sürtünmesiz yatay masa üzerindeki X cisminin dairesel bir yörüngede kalabilmesi için merkeze (O noktasına) doğru çeken bir net kuvvete (merkezcil kuvvete) ihtiyacı vardır:
- Masada sürtünme yoktur.
- X cismini merkeze doğru çeken tek kuvvet ip gerilmesidir (T).
Dolayısıyla X cismine etki eden merkezcil kuvveti doğrudan ip gerilmesi sağlar:
F_{\text{merkezcil}} = T = \frac{m_X \cdot v^2}{r}
3. Ortak İp Bağıntısı (Eşitliğin Kurulması)
Sürtünmesiz delikten geçen ip tek bir parça olduğu için ipin her noktasındaki gerilme kuvveti (T) aynı büyüklüktedir:
\begin{cases} T = m_Y \cdot g & \text{(Y'nin ağırlığından gelen gerilme)} \\ T = \dfrac{m_X \cdot v^2}{r} & \text{(X'i yörüngede tutan merkezcil kuvvet)} \end{cases}
İki denklemde de T ortak olduğu için doğrudan eşitlenir:
m_Y \cdot g = \frac{m_X \cdot v^2}{r}
X cisminin hızının artırılması veya azaltılması durumunda Y cisminin hareketinin nasıl değişeceğini incelememizi ister misin?
ama birkaç soru önce birbirine farklı noktalardan bağlı cisimler bağlamıştım ve gerilme kuvvetleri farklıydı
İp Gerilmelerinin Farklı Olması ile Eşit Olması Arasındaki Temel Fark
Hatırladığın sorulardaki gerilme farkı, arada kütle bulunması (ipin parçalara bölünmesi) durumundan kaynaklanır. Tek bir ideal ipin iki ucu arasındaki gerilme her noktada eşitken, araya bir cisim girdiğinde cismin önündeki ve arkasındaki ipler iki ayrı ip parçası haline gelir.
1. Bu Soruda Neden Gerilme Eşitti? (Tek İp Durumu)
- X ve Y cisimleri arasında başka hiçbir kütle veya sürtünme noktası yoktur.
- X cismi doğrudan ipin bir ucuna, Y cismi ise diğer ucuna bağlıdır.
- Fizikte kütlesi ihmal edilen ve sürtünmesiz bir delikten/makaradan geçen tek bir ipin her noktasındaki gerilme kuvveti (T) aynı büyüklüktedir.
- Dolayısıyla Y’yi taşıyan T ile X’i döndüren T aynı tek kuvvettir.
2. Bahsettiğin Diğer Sorularda Neden Farklıydı? (Aralı Cisimler Durumu)
Dairesel harekette merkezden dışa doğru dizilmiş cisimler olduğunda durum değişir:
O \quad \xrightarrow{\quad T_1 \quad} \quad [m_1] \quad \xrightarrow{\quad T_2 \quad} \quad [m_2]
Bu sistemde:
- Dıştaki ip (T_2): Yalnızca en dıştaki m_2 kütlesini merkeze doğru çeker (T_2 = F_{\text{merkezcil, 2}}).
- İçteki ip (T_1): Hem m_1 kütlesini hem de arkasından gelen m_2 kütlesini birlikte taşımak ve merkeze çekmek zorundadır (T_1 = F_{\text{merkezcil, 1}} + T_2).
Aradaki m_1 cismi ipi ikiye böldüğü için içteki ipteki gerilme (T_1) her zaman dıştaki ipten (T_2) daha büyük olur.
İki Durumun Karşılaştırması
| Özellik | Bu Sorudaki Sistem (Masa Üstü - Sarkıtılmış) | Hatırladığın Sistem (Aynı Doğrultuda İki Kütle) |
|---|---|---|
| İp Sayısı | Tek parça kesintisiz ip | İki ayrı ip parçası (T_1 ve T_2) |
| Ara Kütle | İp üzerinde ara kütle yok | İki ipin arasında m_1 kütlesi var |
| Gerilme Durumu | İpin her yerinde T sabittir | T_1 > T_2 (İçteki gerilme daha büyüktür) |
| Kuvvet Dağılımı | T = G_Y = F_{\text{merkezcil, X}} | T_1 - T_2 = F_{\text{merkezcil, 1}} ve T_2 = F_{\text{merkezcil, 2}} |
Aynı ipe bağlı m_1 ve m_2 kütlelerinin birlikte döndürüldüğü bir soru tipi üzerinden T_1 / T_2 oranını hesaplayan pratik bir örnek çözelim mi?