Kümesinin elemanlarından 4 tanesi, bu sayilardan biri ta- ban diğeri üs olacak şekilde yerleştirildiğinde tüm

YKS TYT
1
  1. Aşağıda verilen boş kutulara
    kümesinin elemanlarından 4 tanesi, bu sayilardan biri ta-
    ban diğeri üs olacak şekilde yerleştirildiğinde tüm eşitlikler
    sağlanmaktadır.
    P =2
    Buna göre bu işlem sonunda hangi sayı
    kullanılmamıştır?

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 73 KB

2

Kümesinin Elemanlarıyla Üslü İfade Eşitliklerini Sağlama

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER:

Üslü ifadelerde temel kural: a^{-n} = \frac{1}{a^n} ve (a^n)^m = a^{n \cdot m} şeklindedir.

Kümemizdeki elemanları üslü biçimde yazalım:

  • -\frac{1}{3} = -3^{-1}
  • -\frac{1}{4} = -4^{-1} = -(2^2)^{-1} = -2^{-2}
  • \frac{1}{81} = 81^{-1} = (3^4)^{-1} = 3^{-4}
  • \frac{1}{27} = 27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}
  • \frac{1}{16} = 16^{-1} = (2^4)^{-1} = 2^{-4}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Birinci Eşitliği Sağlama (\square^{\square} = 2):
Sonucun 2 çıkması için taban ve üs ilişkisini kurmalıyız. Negatif bir tabanın çift kuvveti pozitiftir.
Kümedeki -\frac{1}{4} ve \frac{1}{16} sayılarını inceleyelim:
(-\frac{1}{4}) sayısını (-2^{-2}) olarak yazmıştık. Eğer üs kısmına -\frac{1}{2} gibi bir değer gelseydi sonuç tam sayı olabilirdi ancak kümede bu yok.
Bunun yerine \frac{1}{16} ve -\frac{1}{4} arasındaki ilişkiye bakalım:
(\frac{1}{16})^{-\frac{1}{4}} = (2^{-4})^{-\frac{1}{4}} = 2^{(-4) \cdot (-\frac{1}{4})} = 2^1 = 2
Bu durumda \frac{1}{16} ve -\frac{1}{4} sayıları kullanılmış oldu.

Adım 2 — İkinci Eşitliği Sağlama (\square^{\square} = 3):
Sonucun 3 çıkması için tabandaki sayının üssü alındığında 3^1 elde edilmelidir.
Kümedeki \frac{1}{81} ve -\frac{1}{4} veya \frac{1}{27} ve -\frac{1}{3} kombinasyonlarına bakalım:
(\frac{1}{81})^{-\frac{1}{4}} = (3^{-4})^{-\frac{1}{4}} = 3^{(-4) \cdot (-\frac{1}{4})} = 3^1 = 3
Bu durumda \frac{1}{81} ve -\frac{1}{4} sayıları kullanılmış oldu.

Adım 3 — Kullanılan Sayıları Kontrol Etme:

  • Birinci eşitlik için: \frac{1}{16} ve -\frac{1}{4} kullanıldı.
  • İkinci eşitlik için: \frac{1}{81} ve -\frac{1}{4} (Soru metninde “4 tanesi” dendiği için her kutuya farklı sayı gelmesi gerekip gerekmediğini tekrar kontrol edelim. -\frac{1}{4} her iki işlemde de üs olarak kullanılabiliyor ancak toplamda 4 kutu olduğu için 4 farklı sayı seçmeliyiz.)

Adım 4 — 4 Farklı Sayı ile Yeniden Düzenleme:
Kullanılan 4 sayı şunlar olmalıdır:

  1. (\frac{1}{16})^{-\frac{1}{4}} = 2 (Kullanılanlar: \frac{1}{16} ve -\frac{1}{4})
  2. (\frac{1}{27})^{-\frac{1}{3}} = (3^{-3})^{-\frac{1}{3}} = 3^1 = 3 (Kullanılanlar: \frac{1}{27} ve -\frac{1}{3})

Bu durumda kullanılan sayılar: \{-\frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{27}, \frac{1}{16}\} olur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) \frac{1}{81}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Üslü Sayılar

  • Tanım: Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımıdır.
  • Bu problemde: Rasyonel sayıları negatif üs kullanarak tam sayı haline getirmek için kullanıldı.

2. Negatif Üs

  • Tanım: a^{-n} = \frac{1}{a^n} kuralı gereği sayıyı ters çevirir.
  • Bu problemde: \frac{1}{27} gibi kesirli ifadeleri 3 gibi tam sayılara dönüştürmek için üssün negatif olması sağlandı.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış İşlem Önceliği

  • Hatalı: Negatif tabanın üssünü alırken işaret hatası yapmak.
  • Doğru: (-\frac{1}{4})'ün çift kuvveti veya tersi alınırken paranteze dikkat edilmelidir.
  • Neden yanlış: İşaret hatası sonucun negatif çıkmasına neden olur, oysa sonuçlar pozitif (2 ve 3).

Bu çözümde kullanılan 4 sayı kümenin diğer elemanlarıdır, \frac{1}{81} ise açıkta kalmıştır. Benzer mantıkla çözmemi istediğin başka bir üslü sayı sorusu var mı?