Kümesi üzerinde $f(x) = x^3 + ax + b$ bire bir ve örten fonksiyonu sorusu

YKS TYT
1
  1. a, b ve c birer gerçek sayı olmak üzere gerçek sayılar
    kümesi üzerinde
    albs =x+ax + b
    bire bir ve örten fonksiyonu veriliyor.
    f fonksiyonu ile ilgili
    lim
    X \rightarrow
    (fof) (x) - x
    X-a
    f(-1) = -3
    A) 7
    eşitlikleri veriliyor.
    Buna göre f(2) kaçtir?Oab, inleobsli
    B) 8
    abetoos
    C) 9
    JAOns
    D) 10
    E) 11

Soru Görseli
Soru Görseli1024×721 80.1 KB

2

Kümesi üzerinde f(x) = x^3 + ax + b bire bir ve örten fonksiyonu sorusu

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜLLER:]

  1. L’Hopital Kuralı: \lim_{x \to a} \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g'(a)}{h'(a)} (Eğer \frac{0}{0} belirsizliği varsa).
  2. Bileşke Fonksiyonun Türevi: [f(f(x))]' = f'(f(x)) \cdot f'(x).
  3. Bire Bir ve Örtenlik Şartı: Üçüncü dereceden bir fonksiyonun tüm gerçek sayılarda bire bir ve örten olması için türevinin işaret değiştirmemesi (daima f'(x) \geq 0 veya f'(x) \leq 0) gerekir.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Fonksiyonun Türevini İnceleme
f(x) = x^3 + ax + b fonksiyonunun türevi f'(x) = 3x^2 + a şeklindedir. Fonksiyonun bire bir ve örten olması için türevin kökü olmamalı veya çift katlı kökü olmalıdır. 3x^2 + a \geq 0 şartı için a \geq 0 olmalıdır.

Adım 2 — Limit Bilgisini Kullanma
\lim_{x \to a} \frac{(f \circ f)(x) - x}{x - a} = c ifadesinde payda x=a için 0 olmaktadır. Limit bir gerçek sayı (c) olduğuna göre pay da 0 olmalıdır:
(f \circ f)(a) - a = 0 \implies f(f(a)) = a.
L’Hopital kuralını uygularsak:
\lim_{x \to a} \frac{f'(f(x)) \cdot f'(x) - 1}{1} = c
Buradan f'(f(a)) \cdot f'(a) - 1 = c elde edilir.

Adım 3 — Sabit Nokta ve Fonksiyon Değerleri
f(x) = x^3 + ax + b fonksiyonunda f'(x) = 3x^2 + a daima pozitiftir (a \geq 0). Artan bir fonksiyonda f(f(a)) = a şartı ancak f(a) = a olduğunda sağlanır.
f(a) = a^3 + a^2 + b = a (Burada sorudaki a değeri ile fonksiyonun parametresi olan a aynıdır).
Ayrıca f(-1) = -3 bilgisi verilmiştir:
(-1)^3 + a(-1) + b = -3 \implies -1 - a + b = -3 \implies b - a = -2.

Adım 4 — a ve b Değerlerini Bulma
f(a) = a eşitliğini kullanalım:
a^3 + a^2 + b = a
a^3 + a^2 + (a - 2) = a \implies a^3 + a^2 - 2 = 0.
Bu denklemi çözersek; a=1 için 1+1-2=0 sağlanır.
a = 1 ise b - 1 = -2 \implies b = -1 olur.

Adım 5 — Fonksiyonu Tamamlama ve Sonuç
Fonksiyonumuz: f(x) = x^3 + x - 1 olarak bulunur.
Bizden istenen f(2) değerini hesaplayalım:
f(2) = 2^3 + 2 - 1
f(2) = 8 + 2 - 1 = 9.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 9 (C Şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Bire Bir ve Örtenlik

  • [Tanım:] Fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünün farklı olması ve değer kümesinde boşta eleman kalmamasıdır.
  • [Bu problemde:] Polinom fonksiyonlarda bu durum, türevin işaret değiştirmemesi (daima artan veya azalan olması) ile kontrol edilir.

2. L’Hopital Kuralı

  • [Tanım:] Limit işlemlerinde \frac{0}{0} belirsizliğini gidermek için pay ve paydanın ayrı ayrı türevinin alınmasıdır.
  • [Bu problemde:] Bileşke fonksiyonun limitini hesaplamak için kullanılmıştır.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Bileşke Türevini Yanlış Almak

  • [Yanlış:] (f(f(x)))' ifadesini sadece f'(f(x)) olarak almak.
  • [Doğru:] Zincir kuralı gereği içteki fonksiyonun türeviyle çarpmak (f'(f(x)) \cdot f'(x)).
  • [Neden yanlış:] Fonksiyonun içindeki değişimi ihmal etmek hatalı sonuç doğurur.

Benzer bir türev-limit sorusu daha çözmemi ister misin?