- Elemanları rakamlardan oluşan A, B ve C kümeleri veriliyor. A = {2, 3, 5, a, b} B= (3, 4, 5, 7} A) 18 C={1, 2, 3, 4) olmak üzere B ve C kümelerinden yalnız birinin A kümesinin alt kümesi olduğu bilinmektedir. Buna göre a b çarpımınin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? B) 22 C) 28 D) 32 E) 38
Cevap: a·b’nin alabileceği değerler 4 ve 28 olup toplamları 32’dir; doğru seçenek D) 32. Çünkü B ⊆ A olması için {a,b} = {4,7}, C ⊆ A olması için {a,b} = {1,4} olmalıdır ve bu iki durum dışındaki seçenekler koşulu sağlamaz.
Önemli Noktalar
- A = {2, 3, 5, a, b} (elemanlar rakam)
- B = {3, 4, 5, 7} ve C = {1, 2, 3, 4}
- Yalnızca birinin A’nın alt kümesi olduğu bilgisi, {a,b} için yalnızca iki olası ikiliyi verir: {4,7} veya {1,4}.
- Bu ikililerin çarpımları 28 ve 4; toplam 32.
İçindekiler
Çözüm ve Mantık
A kümesinde zaten 2, 3, 5 olduğuna göre geriye kalan iki boşluk a ve b ile doldurulacaktır.
- Eğer B ⊆ A ise B içindeki tüm elemanlar A’da olmalı: {3,4,5,7}. A’da 3 ve 5 hazır olduğundan eksik olanlar 4 ve 7 olmalıdır → {a,b} = {4,7}. Bu durumda C içindeki 1 A’da yok, dolayısıyla C ⊈ A olur; koşul sağlanır.
- Eğer C ⊆ A ise C = {1,2,3,4}. A’da 2 ve 3 hazır olduğundan eksik olanlar 1 ve 4 olmalıdır → {a,b} = {1,4}. Bu durumda B içindeki 7 A’da yok, dolayısıyla B ⊈ A olur; koşul sağlanır.
Her iki durum da birbirini dışladığı için sadece bu iki ikili mümkündür. Çarpımlar: 4·7 = 28 ve 1·4 = 4. Toplam = 28 + 4 = 32.
Pro Tip: Altküme koşulünü kontrol ederken kümelerde zaten bulunan elemanları çıkarın; kalan elemanların tam olarak a ve b olması gerekir çünkü A’nın iki bilinmeyeni vardır.
Detaylı İnceleme
- A’nın beş elemanı sabit verildiği için a ve b birbirinden farklı ve 2,3,5’ten farklı rakamlardır (aksi halde A beş farklı eleman içermez).
- Hem B hem C’nin A alt kümesi olması durumunu sağlayacak şekilde A’nın tüm gerekli elemanları barındırması gerekirdi; ancak B ∪ C = {1,2,3,4,5,7} altı farklı eleman içerir; A yalnızca beş elemanlı olduğundan her iki küme aynı anda altküme olamaz. Bu nedenle “yalnız birinin” ifadesi zaten tutarlıdır.
Uyarı: a veya b’yi mevcut elemanlarla aynı seçip tekrar saymak küme tanımına aykırıdır (küme elemanları tekrarlanmaz); soruda A’nın 5 elemanı açıkça listelendiği için a ve b farklı olmalıdır.
Karşılaştırma Tablosu
| Aspect | B ⊆ A durumu | C ⊆ A durumu |
|---|---|---|
| Gerekli {a,b} | {4,7} | {1,4} |
| A içeriği | {2,3,5,4,7} | {2,3,5,1,4} |
| Diğer küme alt küme mi? | C değil (çünkü 1 eksik) | B değil (çünkü 7 eksik) |
| a·b değeri | 28 | 4 |
Özet Tablo
| Element | Detay |
|---|---|
| Olası {a,b} | {4,7}, {1,4} |
| a·b değerleri | 28, 4 |
| Toplam | 32 |
| Doğru seçenek | D) 32 |
Sık Sorulan Sorular
1. a veya b 2, 3 veya 5 olabilir mi?
Hayır. Soruda A beş elemanlı bir küme olarak veriliyor; a ve b, 2,3,5 ile aynı olsaydı farklı beş eleman olmazdı. Dolayısıyla a ve b farklı rakamlar olmalıdır.
2. Hem B hem C A’nın alt kümesi olabilir mi?
Hayır. B ∪ C altı farklı eleman içerir ({1,2,3,4,5,7}) ve A yalnızca beş elemanlıdır; bu yüzden ikisi aynı anda altküme olamaz.
3. Sorunun kısa çözümü nasıl özetlenir?
Eksik elemanları B ve C için ayrı ayrı tamamlayın: B için {4,7}, C için {1,4}. Bunların çarpımları 28 ve 4, toplam 32.
Sonraki Adımlar
Çözümü adım adım gösterelim mi? @Elif_Yolcu
Kümeler ve Alt Küme Sorunu Çözümü
Önemli Noktalar
- A kümesi = {2, 3, 5, a, b} şeklinde verilmiş olup, a ve b rakamlar (0-9 arası tek haneli sayılar) olup, kümelerdeki elemanlar benzersiz kabul edilir.
- B kümesi = {3, 4, 5, 7} için alt küme olması, 4 ve 7’nin A’da bulunmasını gerektirir.
- C kümesi = {1, 2, 3, 4} için alt küme olması, 1 ve 4’ün A’da bulunmasını gerektirir.
- Yalnız birinin (B veya C) A’nın alt kümesi olması koşuluyla, a·b çarpımının olası değerleri 4 ve 28’dir; toplamları 32’dir.
Sorunun çözümü, B ve C kümelerinden yalnız birinin A kümesinin alt kümesi olması koşuluna dayanır. A kümesi {2, 3, 5, a, b} olup, a ve b rakamlarıdır. Bu koşul altında a·b çarpımının alabileceği değerlerin toplamı 32’dir (D seçeneği). Aşağıda adım adım açıklanmıştır.
İçindekiler
- Temel Kavramlar ve Koşullar
- Olası Durum 1: B ⊆ A ve C ⊈ A
- Olası Durum 2: C ⊆ A ve B ⊈ A
- Karşılaştırma Tablosu: İki Durum
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Temel Kavramlar ve Koşullar
Küme teorisinde, X ⊆ Y (X, Y’nin alt kümesi) demek, X’in her elemanının Y’de bulunması anlamına gelir. Burada:
- A = {2, 3, 5, a, b} (a ve b, 0-9 arası rakamlar; kümelerde tekrarlar otomatik silinir, yani A en fazla 5 elemanlıdır).
- B = {3, 4, 5, 7}: 3 ve 5 zaten A’da var; 4 ve 7 için a veya b’den sağlanmalı.
- C = {1, 2, 3, 4}: 2 ve 3 zaten A’da var; 1 ve 4 için a veya b’den sağlanmalı.
Koşul: Yalnız bir tanesi (B veya C) A’nın alt kümesi olsun; ikisi birden olmasın. a ve b, A’nın elemanlarını belirler.
Olası Durum 1: B ⊆ A ve C ⊈ A
B’nin A’nın alt kümesi olması için:
- 4 ∈ A ve 7 ∈ A olmalı (3 ve 5 zaten var).
- {2, 3, 5} içinde 4 veya 7 yok, yani {a, b} = {4, 7} olmalı (sıra fark etmez: a=4, b=7 veya a=7, b=4).
- Bu durumda A = {2, 3, 4, 5, 7}.
Şimdi C’nin alt küme olmadığını kontrol edelim:
- C = {1, 2, 3, 4} için 1 ∈ A? Hayır (A’da 1 yok).
- Yani C ⊈ A. Koşul sağlanır.
a·b çarpımı: 4 × 7 = 28.
Olası Durum 2: C ⊆ A ve B ⊈ A
C’nin A’nın alt kümesi olması için:
- 1 ∈ A ve 4 ∈ A olmalı (2 ve 3 zaten var).
- {2, 3, 5} içinde 1 veya 4 yok, yani {a, b} = {1, 4} olmalı (a=1, b=4 veya a=4, b=1).
- Bu durumda A = {1, 2, 3, 4, 5}.
Şimdi B’nin alt küme olmadığını kontrol edelim:
- B = {3, 4, 5, 7} için 7 ∈ A? Hayır (A’da 7 yok).
- Yani B ⊈ A. Koşul sağlanır.
a·b çarpımı: 1 × 4 = 4.
Anahtar Nokta: İki durum çakışmaz çünkü {1,4} ile {4,7} farklı; her ikisini birden sağlamak için a ve b yetmez (üç eleman lazım).
Karşılaştırma Tablosu: İki Durum
| Özellik | Durum 1 (B ⊆ A) | Durum 2 (C ⊆ A) |
|---|---|---|
| {a, b} Değeri | {4, 7} | {1, 4} |
| A Kümesi | {2, 3, 4, 5, 7} | {1, 2, 3, 4, 5} |
| a·b Çarpımı | 28 | 4 |
| B ⊆ A? | Evet | Hayır |
| C ⊆ A? | Hayır | Evet |
| Koşul Sağlanır mı? | Evet (yalnız B) | Evet (yalnız C) |
| A Eleman Sayısı | 5 | 5 |
Bu tablo, olası iki senaryoyu net gösterir.
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Olası Çarpımlar | 4 ve 28 |
| Toplam | 4 + 28 = 32 |
| Seçenek | D) 32 |
| Neden Yalnız İkisi? | Diğer kombinasyonlar (örn. {1,7}) hem B hem C’yi alt küme yapmaz; koşul bozulur |
| Rakam Kısıtı | a, b ∈ {0,1,2,…,9}; burada 1,4,7 geçerli |
| Küme Teorisi Kuralı | Alt küme için her eleman birebir eşleşme |
Sık Sorulan Sorular
1. a ve b aynı rakam olabilir mi?
Hayır, çünkü örneğin {4,4} ile B ⊆ A olmaz (7 eksik). Benzer şekilde C için de {1,1} yetersiz. Koşul ancak farklı ve gereken çiftlerle sağlanır.
2. A kümesinde tekrar olursa ne olur?
Kümelerde tekrar otomatik silinir (örn. a=2, b=4 ise A={2,3,4,5}). Ancak bu durumda ne B ne C tam alt küme olmaz; koşul ihlal edilir.
3. Neden 4 değeri seçeneklerde yok, ama toplamda var?
Soru, a·b’nin olası değerlerinin toplamını sorar, bireysel değerleri değil. 4 ve 28’in toplamı 32’dir.
4. Başka olası {a,b} var mı?
Hayır; örneğin {1,7} ile B ⊈ A (4 eksik) ve C ⊈ A (4 eksik). Veya {4} tek başına yetersiz. Sadece belirtilen ikililer çalışır.
5. Soru YKS TYT seviyesinde mi?
Evet, temel küme teorisi ve mantık sorusu. Gerçek sınavda benzerleri Kümeler ünitesinde çıkar (Kaynak: ÖSYM TYT Matematik).
Sonraki Adımlar
Bu çözümü pekiştirmek için, benzer bir küme sorunu üzerinde çalışmak ister misiniz? Örneğin, “A = {1, x, y}, B={1,2}, C={3,4} için yalnız birinin alt küme olduğu durumları listeleyeyim mi?”