Soruyu çözmek için detaylı açıklama:
Soruda verilen bilgileri yazalım:
- Toplam grup: 20 kişi
- Futbol oynamayan: 11 kişi
- Basketbol oynayan ve futbol oynamayan: 6 kişi
- Soru: Yalnız futbol oynayan kaç kişi vardır?
Çözüm:
-
Futbol oynayan kişi sayısı: Soruda futbol oynayan kişi sayısı 8 olarak verilmiştir.
-
Basketbol oynayan kişi sayısı:
- Basketbol oynayıp futbol oynamayan kişi sayısı 6 olduğundan, basketbol oynayan kişiler arasında hem futbol oynayanlar da olabilir.
- Diyelim ki basketbol oynayan futbol oynayanların sayısı x.
-
Kesim kümeler mantığı uygulayalım:
- Toplam grup 20 kişi olduğuna göre, yalnız futbol oynayanların, yalnız basketbol oynayanların ve her iki sporu yapanların toplamını bulmamız gerekiyor.
Formül şu şekilde düzenlenebilir:
\text{Yalnız Futbol Oynayanlar} + \text{Yalnız Basketbol Oynayanlar} + \text{Her İki Sporu Oynayanlar} + \text{Hiç Spor Yapmayanlar} = 20 -
Verilerle eşitlik kurulumu:
- “Yalnız futbol oynayanlar” sayısını y olarak alalım.
- Basketbol ve futbol oynayan kişi sayısı için x.
- Yalnız futbol oynayanlar (çözümü bulmayaimizi çözüm).
Problemi çözmek için detaylı çözüme geçelim:
Soruda verilen verileri toparlayarak başlayalım:
- Toplam kişi sayısı (Gruptaki kişi sayısı): 20 kişi
- Futbol oynamayan kişiler: 11 kişi
- Basketbol oynayıp futbol oynamayan kişiler: 6 kişi
- Futbol oynayan kişiler: 8 kişi
Sorulan soru: Yalnız futbol oynayan kişi sayısı kaçtır?
Çözüm Adımları
Bu problemde kümelerle ilgili bilgileri kullanarak çözüm yapacağız. Kümeler şu şekilde düzenlenebilir:
- Futbol oynayanlar (F): 8 kişi
- Basketbol oynayanlar (B): Bilinmiyor, hesaplanacak.
- Basketbol oynayan fakat futbol oynamayanlar (B ∩ F’ ): 6 kişi
- Hiçbir spor yapmayanlar (F’ ∩ B’ ): Bu kitleyi bulabilmek için diğer kümelerden toplamı çıkarmamız gerekecek.
1. Bilinmeyenleri Tanımlayalım
Öncelikle, futbolda yalnız futbol oynayanlar, yalnız basketbol oynayanlar ve her iki sporu oynayanlar (kesişim) arasındaki ilişkileri tanımlıyoruz.
Şimdi verileri bir tablo şeklinde düzenleyelim:
| Küme | Verilen Bilgi |
|---|---|
| Futbol oynayan (F) | 8 kişi |
| Futbol oynamayan (F’) | 11 kişi |
| Basketbol oynayıp futbol oynamayan (B ∩ F’) | 6 kişi |
| Hiçbir spor yapmayan (F’ ∩ B’) | Hesaplanacak |
2. Denklem Kurulum
Aşağıdaki bilgiyi kullanıyoruz:
-
Toplam kişi sayısı:
F + F' = 20Yani futbol oynayanlar ve oynamayanlar toplamı 20 kişidir.
-
Basketbol oynayıp futbol oynamayanlar:
Soruda açıkça belirtilen 6 kişi, bu kitlenin bir parçasıdır. -
Hiçbir spor yapmayanlar:
Hiçbir spor yapmayan kişiyi bulmak için hem futbol hem basketbol oynayanlar dışında kalanları bulmamız gerekir.
3. Problemi Çözmek:
a. Kesişimdeki Basketbol ve Futbol Oynayanlar (B ∩ F)
Futbol oynayan kişi sayısı (8 kişi) içindeki bir kişi grubu basketbol da oynayabilir. Bu kesişimden x kişi diyelim. Ayrıca basketbol oynayan, futbol oynamayan kişi sayısı 6 olduğu biliniyor.
b. Yalnız futbol oynayanlar:
Yalnız futbol oynayanları şu formül ile bulabiliriz:
\text{Yalnız Futbol Oynayanlar} = F - (\text{Basketbol ve Futbol Oynayanlar})
Çözüm Hesaplaması
Gruptaki ilişkiler ve toplam bilgileri kullanarak çözüm yapılabilir:
- Futbol oynayan kişiler içinde 8 kişi var:
- Yalnız Futbol Oynayanlar: 8 - x
- Basketbol Oynayan, Futbol Oynamayanlar: 6
- Herhangi bir spor yapmayanlar:
$$ 20 - F - B + (\text{kesim kişi.) }}
20 kişilik bir grupta futbol oynayan 8 kişi, basketbol oynamayan 11 kişi, basketbol oynayıp futbol oynamayan 6 kişi vardır. Buna göre yalnız futbol oynayan kaç kişi vardır?
Cevap:
Table of Contents
1. Verilen Bilgiler
- Toplam kişi sayısı: 20
- Futbol oynayan kişi sayısı (F): 8
- Basketbol oynamayan kişi sayısı (B’): 11 (dolayısıyla basketbol oynayan kişi sayısı B = 20 - 11 = 9)
- Basketbol oynayıp futbol oynamayan kişi sayısı (B ∩ F’): 6
2. Temel Tanımlar
- F: Futbol oynayanlar kümesi
- B: Basketbol oynayanlar kümesi
- F’: Futbol oynamayanlar kümesi (F’nin tümleyeni)
- B’: Basketbol oynamayanlar kümesi (B’nin tümleyeni)
3. Adım Adım Çözüm
-
Basketbol oynayan kişi sayısı
Basketbol oynamayan (B’) = 11 olduğu için basketbol oynayan (B) = 20 - 11 = 9. -
Basketbol oynayıp futbol oynamayan ⇒ (B ∩ F’) = 6
Bu, sadece basketbol oynayanların 6’sının futbol oynamadığını ifade eder. -
Basketbol ve futbol beraber oynayanlar
(B) = (B ∩ F) + (B ∩ F’)
9 = (B ∩ F) + 6
(B ∩ F) = 3. -
Futbol oynayanların dağılımı
(F) = (F ∩ B) + (F ∩ B’)
8 = 3 + (F ∩ B’)
(F ∩ B’) = 5 ⇒ Bu değer “yalnız futbol oynayanlar”ı ifade eder.
4. Özet Tablo
| Küme Açıklaması | Sayı Hesaplaması | Sonuç |
|---|---|---|
| (B’ = 11) → Basketbol oynayan (B) | 20 - 11 = 9 | 9 |
| Basketbol ve Futbol (B ∩ F) | B = (B ∩ F) + (B ∩ F’) = 9 = (B ∩ F) + 6 → (B ∩ F) = 3 | 3 |
| Futbol (F = 8) | F = (F ∩ B) + (F ∩ B’) = 8 = 3 + (F ∩ B’) → (F ∩ B’) = 5 | 5 |
5. Kısa Sonuç
Yalnız futbol oynayan kişi sayısı 5’tir.
20 kişilik bir grupta futbol oynamayan 11 kişi, basketbol oynamayan 6 kişi ve basketbol oynayıp futbol oynamayan 6 kişi vardır. Buna göre, yalnız futbol oynayan kaç kişi vardır?
Cevap:
Aşağıdaki çözümde, kümeler arası ilişkileri (yalnız futbol oynayan, yalnız basketbol oynayan, her ikisini de oynayan ve hiçbirini oynamayan) adım adım göreceğiz. Ardından, yalnız futbol oynayan kişi sayısını bulacağız.
İçindekiler
- Temel Kavramlar ve Kümeler
-
-
-
- Adım Adım Çözüm
- Tablo ile Özet
- Detaylı Açıklamalar
- Futbol Oynamayan 11 Kişi Analizi
- Basketbol Oynamayan 6 Kişi Analizi
- Basketbol Oynayıp Futbol Oynamayan 6 Kişi Analizi
- Hangi Değerin Ne Anlama Geldiği
- Sonuç ve Özet
- Kaynak ve Öneriler
1. Temel Kavramlar ve Kümeler
Bir problemi kümelerle çözebilmek için öncelikle bazı önemli kavramları hatırlamak gerekir:
- Evrensel Küme (E): Problemdeki tüm öğeleri kapsar. Burada 20 kişilik grup, evrensel kümeyi temsil eder.
- F Kümesi (Futbol Oynayanlar): Futbol oynayan kişileri içeren alt küme.
- B Kümesi (Basketbol Oynayanlar): Basketbol oynayan kişileri içeren alt küme.
- F\B: Futbol oynayan fakat basketbol oynamayan kişiler (yalnız futbol)
- B\F: Basketbol oynayan fakat futbol oynamayan kişiler (yalnız basketbol)
- F ∩ B: Hem futbol hem de basketbol oynayanlar (her ikisini de oynayan)
- F ∪ B: Futbol veya basketbol (veya her ikisi) oynayanlar
- (F ∪ B)′: Ne futbol ne basketbol oynayanlar
Bir küme problemini çözerken en temel yaklaşım, “tüm itibariyle” (toplam 20 kişi) ve “oynamayanlar” gibi ek bilgileri doğru şekilde denklemlere dönüştürmektir.
2. Problem Verilerinin Tanımlanması
Soruya göre elimizde şu veriler var:
- Toplam kişi sayısı: 20
- Futbol oynamayanların sayısı: 11
- Basketbol oynamayanların sayısı: 6
- Basketbol oynayıp futbol oynamayan (yalnız basketbol oynayan): 6
Sorumuz:
“Yalnız futbol oynayan kaç kişi vardır?”
3. Kümelerin Sembolik Gösterimi
Klasik olarak şu değişkenleri tanımlayalım:
- x = F\B: Yalnız futbol oynayan kişi sayısı (aradığımız değer).
- y = B\F: Yalnız basketbol oynayan kişi sayısı (problemin dördüncü maddesine göre y = 6).
- z = F ∩ B: Hem futbol hem basketbol oynayan kişi sayısı.
- w = Ne futbol ne basketbol oynayan kişi sayısı.
Bunların toplamı 20’ye eşit olmalıdır:
x + y + z + w = 20
4. Verilerin Denklemlere Dökülmesi
Veriler doğrultusunda şu denklemleri kurabiliriz:
- Futbol oynamayan 11 kişi:
- Futbol oynamayanlar kümesi (F′) şu kişileri içerir: yalnız basketbol oynayanlar (y) ve hiçbir oyunu oynamayanlar (w).
- Dolayısıyla y + w = 11.
- Basketbol oynamayan 6 kişi:
- Basketbol oynamayanlar kümesi (B′) şunları içerir: yalnız futbol oynayanlar (x) ve hiçbir oyunu oynamayanlar (w).
- Bu sebeple x + w = 6.
- Basketbol oynayıp futbol oynamayan 6 kişi (yalnız basketbol):
- Bu veri doğrudan y = 6 olduğunu söyler.
- Toplam 20 kişi olduğu için:
x + y + z + w = 20
5. Adım Adım Çözüm
Adım 1: Değişkenleri Yerlileştirme
- y=6 (yalnız basketbol oynayanlar)
- Denklemler:
- y + w = 11
- x + w = 6
- x + y + z + w = 20
Adım 2: y + w = 11 Denkleminden w ’yi Bulma
- Bilindiği üzere y=6, o hâlde:
6 + w = 11 \implies w = 11 - 6 \implies w = 5.
Adım 3: x + w = 6 Denkleminden x ’i Bulma
- Yeni bulduğumuz w=5, o hâlde:
x + 5 = 6 \implies x = 6 - 5 \implies x = 1.
Bu sonuç, yalnız futbol oynayanların sayısının 1 olduğunu gösterir.
Adım 4: z (Her İkisini de Oynayanlar) Bulma
- Toplam 20 kişi var:
x + y + z + w = 20
- Yerine yazarsak: 1 + 6 + z + 5 = 20 \implies 12 + z = 20 \implies z = 8.
Yani 8 kişi hem futbol hem basketbol oynamaktadır.
Adım 5: Kontrol
- Elde edilen tüm sayıları toplayalım:
x + y + z + w = 1 + 6 + 8 + 5 = 20
Bu, toplam 20 kişiyi oluşturmaktadır; dolayısıyla sonuçlar birbiriyle tutarlıdır.
Böylece yalnız futbol oynayan (x) kişi sayısı 1 bulunur.
6. Tablo ile Özet
Aşağıdaki tabloda, her kategoriye düşen kişi sayısını görebilirsiniz:
| Kategori | Sembol | Kişi Sayısı |
|---|---|---|
| Yalnız futbol oynayan | x = F\B | 1 |
| Yalnız basketbol oynayan | y = B\F | 6 |
| Her iki sporu da oynayan | z = F ∩ B | 8 |
| Hiçbir sporu oynamayan | w | 5 |
| Toplam | – | 20 |
Bu tabloya göre sorunun cevabı tabeladaki “Yalnız futbol oynayan” hücresinde yer alan 1’dir.
7. Detaylı Açıklamalar
7.1. Futbol Oynamayan 11 Kişi Analizi
- Futbol oynamayanlar grubu: F'
- İçinde yalnız basketbol oynayanlar (y) ve hiçbir spor oynamayanlar (w) bulunur.
- Soru “Futbol oynamayan 11 kişi vardır” dediğine göre, y + w = 11.
- Yalnız basketbol oynayanların 6 kişi olduğu bilgisini eklediğimizde, w değeri 5’e inmektedir.
7.2. Basketbol Oynamayan 6 Kişi Analizi
- Basketbol oynamayanlar grubu: B'
- İçinde yalnız futbol oynayanlar (x) ve hiçbir spor oynamayanlar (w) bulunur.
- “Basketbol oynamayan 6 kişi vardır” ifadesiyle x + w = 6 denklemi ortaya çıkar.
- Bir önceki adımda w=5 bulunduğundan, buradan x’in 1 olduğu netleşir.
7.3. Basketbol Oynayıp Futbol Oynamayan 6 Kişi Analizi
- Bu kişiler tam olarak yalnız basketbol oynayan gruba (B \setminus F) tekabül eder.
- Soru bu setin büyüklüğünü 6 olarak vermiştir, dolayısıyla y = 6 olarak doğrudan kullanırız.
7.4. Hangi Değerin Ne Anlama Geldiği
- x = 1 (yalnız futbol): Hem sorumuzun cevabı hem de futbol oynadığı hâlde basketbola hiç katılmayan kişilerin toplamı.
- y = 6 (yalnız basketbol): En çok kişiye sahip yalnız kategori.
- z = 8 (her ikisini de oynayan): Grup içinde futbol ve basketbolu aynı anda oynayanların sayısı.
- w = 5 (hiçbirini oynamayan): Bu grup, ne futbol ne basketbolla ilgilenmeyen 5 kişiyi oluşturur.
Tüm bu değerler, problemde verilen 20 kişilik toplam ile tam uyum gösterir.
8. Sonuç ve Özet
Soru “Yalnız futbol oynayan kaç kişi vardır?” şeklinde sorulduğu için cevabımız 1 olmaktadır.
- Adım adım çözüldüğünde, yalnız basketbol = 6 kişi, her iki sporu oynayan = 8 kişi, hiçbirini oynamayan = 5 kişi, yalnız futbol = 1 kişi olarak bulunur.
- Bu değerler, “futbol oynamayan 11 kişi” (6 yalnız basketbol + 5 hiçbirini oynamayan = 11) ve “basketbol oynamayan 6 kişi” (1 yalnız futbol + 5 hiçbirini = 6) koşullarını eksiksiz karşılar. Ayrıca, “basketbol oynayıp futbol oynamayan 6 kişi” (yalnız basketbol) kısıtı da yerine getirilmiştir.
Dolayısıyla yalnız futbol oynayanların sayısı 1’dir.
9. Kaynak ve Öneriler
- Ortaokul ve lise düzeyinde “Kümeler” konulu ders kitapları, MEB müfredatı.
- Benzer sorular için Venn diyagramı çizmek, verileri diyagram üzerinde görmek çözüme büyük kolaylık sağlar.
- Gerektiğinde, bu tür sorularda her bir kategori (yalnız futbol, yalnız basketbol, her ikisi, hiçbirini) için ayrı sembol kullanmak, hatasız ilerlemenin en pratik yoludur.
Özetle, problemde verilen “futbol oynamayan 11 kişi, basketbol oynamayan 6 kişi, basketbol oynayıp futbol oynamayan 6 kişi” verileriyle kurulan denklemler, yalnız futbol oynayan kişi sayısını 1 olarak ortaya koymaktadır.