Soru: 35 kişilik bir sınıfta voleybol oynayanların sayısı 17, voleybol ve basketbol oyunlarından en çok birini oynayanların sayısı 22’dir. Buna göre, sadece voleybol oynayan kaç kişi vardır?
Çözüm:
Problemi çözebilmek için kümeleri kullanmamız gerekiyor. Soruda verilen bilgiyi özetleyerek başlayalım:
Verilenler:
- Sınıf mevcudu: 35 kişi
- Sadece bir spor branşı oynayanlar: 22 kişi
- Voleybol oynayanların toplam sayısı: 17 kişi
Çözüm:
Soruda, sadece voleybol oynayan kişileri bulmamız isteniyor. Bu tür sorular küme teorisi kullanılarak çözülür. İki spor branşı oynayan kişilerin sayısını da sınıf mevcudundan çıkartacağız.
Adımları Tek Tek Gösterelim:
- “Basketbol oynayanlar” ve “voleybol oynayanlar” toplamını bulalım:
Soruda, tek bir spor branşı oynayan kişi sayısının 22 olduğunu biliyoruz. Bu durumda:
$$|A \cup B| = \text{sadece voleybol oynayanlar} + \text{sadece basketbol oynayan.##
35 kişilik bir sınıfta;
• Voleybol oynayanların sayısı 17,
• “Voleybol ve basketbol oyunlarından en çok birini oynayanların sayısı” 22 olarak verilmektedir.
Bu tür sorularda “en çok birini oynayan” ifadesi, o iki sporu birlikte oynamayan kişileri (yani sadece voleybol, sadece basketbol ve/veya hiçbirini oynamayanları) kapsar. Çoğu zaman bu tip problemler “hiçbirini oynamayan” kişinin olmadığı varsayımıyla çözülür. Bu varsayımı yapınca “en çok birini oynayanlar” = (sadece voleybol) + (sadece basketbol).
Aşağıdaki tanımları yapalım:
• Sadece voleybol oynayan kişi sayısı = Vₒ
• Voleybol ve basketbolu birlikte oynayan kişi sayısı = V∩B
• Toplam öğrenci sayısı = 35
-
Voleybol oynayan toplam kişi sayısı 17 olduğuna göre:
Vₒ + (V∩B) = 17 -
“Voleybol ve basketbol oyunlarından en çok birini oynayan” 22 kişi var, eğer “hiçbirini oynamayan” olmadığı kabul edilirse bu 22 kişi = (sadece voleybol) + (sadece basketbol). Dolayısıyla, birlikte oynayanların sayısı da
35 – 22 = 13
olur (çünkü birlikte oynayanlar, “en çok birini oynayanlar” kümesinin dışında kalan 13 kişidir). -
Böylece (V∩B) = 13 bulunur. Voleybol oynayanlar toplam 17 kişi olduğu için
Vₒ + 13 = 17
buradan
Vₒ = 17 – 13 = 4
Dolayısıyla, yalnızca voleybol oynayan kişi sayısı 4’tür.
Tablo: Özet Bilgiler
| Değişken | Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| Toplam öğrenci sayısı | 35 | Sınıftaki tüm öğrenciler |
| “En çok birini” oynayan | 22 | Sadece voleybol + Sadece basketbol (varsayım: 0 “hiçbirini”) |
| Voleybol oynayan toplam | 17 | Sadece voleybol + İki sporu birlikte oynayanlar |
| Birlikte oynayan (V∩B) | 13 | 35 – 22 = 13 |
| Sadece voleybol (Vₒ) | 4 | 17 – 13 = 4 |
Bu hesaplama neticesinde sorunun doğru cevabı 4 (B şıkkı) olur.
35 kişilik bir sınıfta voleybol oynayanların sayısı 17, voleybol ve basketbol oyunlarından “en çok birini” oynayanların toplam sayısı 22’dir. Buna göre, sadece voleybol oynayan kaç kişi vardır?
Cevap: 4
İçindekiler
- Problemin Genel Tanıtımı
- Temel Küme Terimleri ve Tanımlar
- Verilen Bilgilerin Analizi
- Değişkenlerin Tanımlanması
- Adım Adım Çözüm
- Küme Gösterimi ile Çözüm
- Örnek Venn Diyagramı Açıklaması
- Sonuçların Tablo ile Özetlenmesi
- Sınavlarda ve Günlük Hayatta Dikkat Edilecek Noktalar
- Kısa Özet ve Sonuç
1. Problemin Genel Tanıtımı
Bu soru, bir sınıftaki öğrencilerin voleybol ve basketbol oynama durumlarının incelenmesi üzerine kuruludur. Toplam 35 öğrencinin bulunduğu sınıfta:
- 17 kişi voleybol oynuyor.
- “Voleybol ve basketbol oyunlarından en çok birini oynayanların” sayısı 22 olarak ifade ediliyor.
Buradaki “en çok birini” ifadesi, öğrencinin aynı anda iki sporu birden oynayıp oynamadığını belirlememize yardımcı olacak kritik bir anahtardır. Sonuçta bizden istenen, “Sadece voleybol oynayan kaç kişi vardır?” sorusunun yanıtıdır.
Bu tür sorularda, genellikle kümeler ya da Venn diyagramları üzerinden ilerlenir. Ayrıca tablo ve formüller yardımıyla veriler derlenir, istenen sonuca ulaşılır.
2. Temel Küme Terimleri ve Tanımlar
Öğrencilerin oynadıkları sporlar kümeler halinde temsil edilir. Temel terimleri hatırlayalım:
- Evrensel küme (U): Bu problemde 35 kişilik sınıf, yani evrensel küme U demektir.
- Voleybol kümesi (V): Sadece (veya birlikte) voleybol oynayanların tamamının bulunduğu kümedir. Eleman sayısı |V| = 17.
- Basketbol kümesi (B): Basketbol oynayanların kümesidir. Eleman sayısı bu soruda tam verilmedi ancak bir alt maddede “en çok birini oynayanlar” ifadesiyle ilişkili şekilde analiz edilecektir.
- Sadece voleybol oynayanlar: Hem voleybol oynayıp hem basketbol oynamayanlar.
- Ortak oynayanlar: Hem voleybol hem basketbol oynayanlar, yani V \cap B.
- Hiç oynamayanlar: Voleybol da basketbol da oynamayanlar (varsa).
3. Verilen Bilgilerin Analizi
Soru metninde belirlenen noktalar:
- Sınıf mevcudu: 35 kişi.
- Voleybol oynayanlar: 17 kişi.
- Voleybol ve basketbol oyunlarından “en çok birini” oynayanların toplamı: 22 kişi.
Burada “en çok birini” ifadesi, bir öğrencinin ya hiç oynamadığı ya da sadece tek bir spor oynadığı anlamına gelir. Dolayısıyla, “ikisini birden oynayanlar” bu 22 kişinin içinde değildir.
Bu tür sorularda tipik olarak şu denklem kullanılır:
(\text{Sadece voleybol}) + (\text{Sadece basketbol}) + (\text{Hiç oynamayanlar}) = 22
Ayrıca tüm sınıf 35 kişiden oluştuğuna göre, iki sporu birden oynayanların sayısını z olarak tanımladığımızda:
z = 35 - 22 = 13
Bu 13 kişinin, aynı anda iki sporu (voleybol ve basketbol) oynayanlardan oluştuğunu birazdan adım adım göstereceğiz.
4. Değişkenlerin Tanımlanması
Bu soruyu çözebilmek için kendimize üç temel değişken tanımlayacağız:
- x = \text{Sadece voleybol oynayanların sayısı}
- y = \text{Sadece basketbol oynayanların sayısı}
- z = \text{Hem voleybol hem basketbol oynayanların sayısı}
Ayrıca varsayalım ki:
- n = \text{Hiç voleybol ya da basketbol oynamayanların sayısı}
5. Adım Adım Çözüm
Aşağıda, soru metnindeki kritik ifadenin ne anlama geldiğini adım adım inceleyerek, sadece voleybol oynayan kişi sayısını (yani x değerini) bulacağız.
A) “En Çok Birini Oynayanlar” Kavramının Açıklanması
“Voleybol ve basketbol oyunlarından en çok birini oynayanların sayısı 22” dendiğinde, herhangi bir öğrenci bu 22 kişi arasında yer alabilmek için:
- Ya hiçbir spor yapmıyor olması,
- Ya da sadece bir sporla uğraşıyor olması (sadece voleybol veya sadece basketbol).
İki sporu birden oynayanlar ise “en çok birini” oynayanların grubuna dahil değildir. Çünkü “ikisi” birden = en çok birini değil, tam iki sporu oynuyor demektir.
Dolayısıyla,
x + y + n = 22
olacaktır. Burada x sadece voleybol oynayanlar, y sadece basketbol oynayanlar, n ise hiçbir sporu oynamayanları gösterir.
B) Toplam Oyuncu Sayısı ve Ortak Oynayanlar
Sınıf mevcudu 35 olduğundan, iki sporu birlikte oynayanlar (yani z) şu şekilde bulunabilir:
z = 35 - (x + y + n)
Ancak problemde en çok birini oynayan sayısı 22 olarak verildiği için:
x + y + n = 22
der isek,
z = 35 - 22 = 13
elde edilir. Bu 13 kişi, iki sporu (voleybol ve basketbol) aynı anda oynayanlardır.
C) Sadece Voleybol Oynayanların Hesaplanması
Soru bize voleybol oynayanların toplamının 17 olduğunu söylüyor. Voleybol oynayanların toplamı, “sadece voleybol oynayanlar” artı “ikisini birden oynayanlar” demektir. Yani:
x + z = 17
Yukarıdaki adımda z = 13 olarak bulunmuştu. Dolayısıyla:
x + 13 = 17 \quad \Rightarrow \quad x = 17 - 13 = 4
Bu, sorunun bizden istediği **“sadece voleybol oynayanların sayısı”**dır. Elde ettiğimiz sonuç, 4.
6. Küme Gösterimi ile Çözüm
- |V| = 17 (voleybol oynayanlar)
- |B \cap V| = z (her iki sporu birden oynayanlar)
- |V| = |V \text{ (sadece)}| + |B \cap V|
Küme gösterimine göre:
|V| = |V \setminus B| + |V \cap B|
Burada |V \setminus B|, sadece voleybol oynayanlar (x) anlamına gelir.
Bu denklem ışığında:
17 = x + z
Az önce hesapladığımız gibi z = 13 olduğundan, otomatik olarak x = 4 sonucuna varırız.
7. Örnek Venn Diyagramı Açıklaması
Venn diyagramıyla durumu göstersek şu unsurları yerleştirirdik:
-
Voleybol kümesi (V) içinde iki alan vardır:
- Sadece voleybol oynayanlar (x = 4).
- Hem voleybol hem basketbol oynayanlar (z = 13).
-
Basketbol kümesi (B) için de benzer bir ayrım vardır:
- Sadece basketbol oynayanlar (y).
- Hem voleybol hem basketbol oynayanlar (z = 13).
-
Dış kısım (her iki kümenin de dışında) eğer varsa hiç oynamayanlar (n). Ancak bu anlatımda “en çok birini oynayanlar” sayısı 22 olduğundan, dış kısım ve tek spor oynayanlar toplam 22 kisiye karşılık gelecektir.
Diyagramda, z=13 kısmı (iki kümenin kesişimi) en büyük payı oluşturur gibi görünmektedir; geri kalan kısımdan x=4 ayrılır, y ve n ise problemde net verilmemiştir. Fakat sorunun çözümü için sadece x değeri bize sorulmaktadır.
8. Sonuçların Tablo ile Özetlenmesi
Aşağıda basit bir tablo yardımıyla, sorudaki verileri ve sonuçları derliyoruz:
| Öğrencilerin Durumu | Sayı (Kişi) |
|---|---|
| Sadece Voleybol Oynayanlar (x) | 4 |
| Hem Voleybol Hem Basketbol Oynayanlar (z) | 13 |
| Sadece Basketbol Oynayanlar (y) | Bilinmiyor (Soruda gerekli değil) |
| Hiçbir Spor Oynamayanlar (n) | Bilinmiyor (Soruda gerekli değil) |
| “En Çok Birini” Oynayanlar (sadece voleybol + sadece basketbol + hiçbir spor) (x+y+n) | 22 |
| Toplam Kişi (Sınıf) | 35 |
Tablodaki en kritik bulgu 4 sayısıdır; bu doğrudan bizim soruda aradığımız sadece voleybol oynayan kişi sayısıdır.
9. Sınavlarda ve Günlük Hayatta Dikkat Edilecek Noktalar
- “En çok birini oynayanlar” ifadesinin anlamı: Benzer sorularda “en az birini oynayanlar”, “en fazla birini oynayanlar” veya “ikisini birden oynayanlar” gibi ifadelerin anlamlarını karıştırmamak gerekir. Burada “en çok birini” ifadesi, “iki sporu aynı anda oynayanlar”ı dışarıda bıraktığını gösterir.
- Küme Problemleri: Sınavlarda sıklıkla karşılaşılan bu tip sorularda n(A\cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B) gibi temel küme formüllerini hatırlamak faydalı.
- Görselleştirme: Venn diyagramı çizmek her zaman faydalıdır. Diyagram üzerinde parçaları hangi kesime (sadece A, sadece B, her ikisi, hiçbirisi) ait olacağını görsel bir bakışla ayırt etmek çözüm hızını artırır.
- Veri kontrolü: Özellikle x + y + z + n = 35 veya “en çok birini oynayanlar” gibi ara bilgileri doğru yorumlamak, soruda hiçbir bilginin atlanmamasını sağlar.
- Cevap seçenekleri: Genelde bu tür test sorularında cevap seçeneklerinden de mantıksal bir çıkarsama yapabilirsiniz. Örneğin, soruda “sadece voleybol oynayanlar”ın 3, 4, 5, 6, 7 gibi seçenekleri verilmiş. Kimsenin bu sporları oynayıp oynamadığı bilgisinde tutarsızlık varsa, tablo yaparak düşük veya yüksek değerleri eleyebilirsiniz. Bu problemde 4’ün tutarlı olduğunu, 3 ya da 5 ile fark olduğunu yine denklem kurarak gözlemleyebilirdik.
10. Kısa Özet ve Sonuç
Bu problemde, 35 kişilik bir sınıfta:
- Voleybol oynayan: 17 kişi
- “Voleybol ve basketbol oyunlarından en çok birini” (0 veya 1 spor) oynayanlar: 22 kişi
Bu ifadelere göre, iki sporu birden oynayan kişiler 35 - 22 = 13 olur. Voleybol oynayanların sayısı 17 olduğuna göre, sadece voleybol oynayanlar (x) şu denklemle netleşir:
x + z = 17 \quad \rightarrow \quad x + 13 = 17 \quad \rightarrow \quad x = 4
Dolayısıyla, sadece voleybol oynayan kişi sayısı 4 olarak belirlenir. Soru bu değeri bize “Cevap” olarak istemektedir. Test seçeneklerinden de B) 4 cevabının doğru olduğunu görürüz.
Bu tip sorular, kümeler ve Venn diyagramı bilgisi kullanılarak kolayca çözülebilir. Önemli olan, problem metnindeki “en az birini”, “en çok birini” veya “iki sporu birden oynayan” gibi ifadelerin doğru bir şekilde yorumlanmasıdır.
Cevap: 4