Problemi çözmek için verilen bilgileri ve adımlarını net bir şekilde açıklayacağım:
Verilenler:
- A ve B boş olmayan iki farklı küme.
- 4 \cdot s(A - B) = 3 \cdot s(B - A)
- s(A \cup B) = 66
- s(A \cap B)'nin minimum değeri alması isteniyor.
İstenilen:
s(A)'nın kaç olduğu.
Çözüm:
Kümelerin temel ilişkisi:
Birleşim ve kesim ilişkisi aşağıdaki formüllerle ifade edilir:
s(A \cup B) = s(A - B) + s(B - A) + s(A \cap B)
Ayrıca, s(A) ve s(B) ifadeleri şu şekilde parçalanabilir:
s(A) = s(A \cap B) + s(A - B)
s(B) = s(A \cap B) + s(B - A)
Adım 1: Verilen oranı kullanarak s(A - B) ve s(B - A) bağlantısını bulun.
4 \cdot s(A - B) = 3 \cdot s(B - A)
Buradan:
s(A - B) = \frac{3}{4} \cdot s(B - A)
s(A - B)'yi bir oran olarak ifade ettik:
s(A - B) = 0.75 \cdot s(B - A).
Adım 2: Birleşim formülünü yerine koy.
Birleşim kümesinin eleman sayısı zaten verilmiş:
s(A \cup B) = s(A - B) + s(B - A) + s(A \cap B)
Buradan:
66 = \frac{3}{4} \cdot s(B - A) + s(B - A) + s(A \cap B)
\frac{3}{4} \cdot s(B - A) + s(B - A) kısmını sadeleştirerek:
66 = \frac{7}{4} \cdot s(B - A) + s(A \cap B)
Adım 3: Kesim kümesinin minimum değeri.
s(A \cap B) minimum alacaksa s(B - A)'yı maksimum seçmeliyiz.
Bu durumda çözümde kesişim elemanlarını yerine koyarak satıcıyı tamamlıyoruz.
İşlemin detaylarını görmek için çözüm adımbaşı yazılmıştır
Bu problemi çözmek ve soruda verilen tüm bilgileri kullanarak sonucu adım adım açıklayacağız.
Verilen Bilgiler:
- 4 \cdot s(A - B) = 3 \cdot s(B - A)
- s(A \cup B) = 66
- s(A ∩ B)'nin minimum değerde seçilmesi isteniyor.
İstenilmesi:
s(A) kaçtır?
Çözümün Adımları:
1. Üç Küme İfadesinin Temel Denklemi:
Birleşim, fark ve kesim ilişkisini ifade eden önemli denklem:
s(A \cup B) = s(A - B) + s(B - A) + s(A \cap B)
Buradan, kümede eleman sayıları dağılımı:
66 = s(A - B) + s(B - A) + s(A ∩ B)
2. Oranı Temel Alalım:
İkinci verilen bilgi:
4 \cdot s(A - B) = 3 \cdot s(B - A)
Buradan:
s(A - B) = \frac{3}{4} \cdot s(B - A)
Bu denklem, s(A - B) ve s(B - A) arasındaki oranı belirler. Artık tüm bağıntıyı bu oranla ifade edebiliriz.
3. Toplam Birleşim Kümesi:
Birleşim elemanlarının toplamı olan 66’yı yerine yazalım:
66 = (\frac{3}{4} \cdot s(B - A)) + s(B - A) + s(A \cap B)
Buradan:
66 = \frac{7}{4} \cdot s(B - A) + s(A \cap B)
Bunu sadeleştirmek için s(A \cap B)'yi minimum olacak şekilde ayarlayacağız.
4. Minimum Kesim Elemanları:
Kesişim kümesi s(A \cap B) en küçük bir değer seçildiğinde, diğer terimler olan s(A - B) ve s(B - A) değerleri eşitlenir veya dengede kalır.
Eğer minimum değeri belirlemek istiyorsanız, birleşim s(A) kullanarak adım adımlar çözbr
A ve B boştan farklı iki küme için verilenler:
• 4·s(A − B) = 3·s(B − A)
• s(A ∪ B) = 66
• s(A ∩ B) minimum olduğunda s(A) kaçtır?
Aşağıda çözümü adım adım bulalım:
1. Genel Tanımlar ve Değişkenler
Kolaylık olsun diye:
• x = s(A − B)
• y = s(B − A)
• z = s(A ∩ B)
Bu durumda:
- 4x = 3y ⇒ y = (4/3)x
- s(A ∪ B) = x + y + z = 66
Ayrıca,
• s(A) = s(A − B) + s(A ∩ B) = x + z
• s(B) = s(B − A) + s(A ∩ B) = y + z
2. Temel Denklemleri Kurma
(1) ve (2)’yi kullanarak:
(2) x + y + z = 66
y = (4/3)x
Dolayısıyla:
x + (4/3)x + z = 66
(7/3)x + z = 66
Her değerin tam sayı olması gerektiğinden (kümelerin eleman sayıları tam sayı olmalı), x değeri 3’ün katı olmalıdır. x = 3k (k ∈ ℤ⁺) yazalım.
Buna göre y = (4/3)·(3k) = 4k olur.
Artık denklemimiz:
(7/3)(3k) + z = 66 ⇒ 7k + z = 66 ⇒ z = 66 − 7k
3. Eleman Sayılarının Pozitif Olma Koşulu
- x = 3k > 0 ⇒ k > 0
- y = 4k > 0 ⇒ k > 0
- z = 66 − 7k ≥ 0 ⇒ 7k ≤ 66 ⇒ k ≤ 9
- A ≠ ∅ ⇒ s(A) = x + z = 3k + (66 − 7k) = 66 − 4k > 0
- B ≠ ∅ ⇒ s(B) = y + z = 4k + (66 − 7k) = 66 − 3k > 0
k’nin pozitif bir tam sayı olduğunu da dikkate alırsak 1 ≤ k ≤ 9 olur.
4. s(A ∩ B) Değerini En Küçük Yapan Çözüm
s(A ∩ B) = z = 66 − 7k ifadesinde, z’yi (yani kesişimi) en küçük yapmak demek, k’yi olabildiğince büyütmek demektir. Yukarıdaki koşuldan k azami 9 olabilir.
• k = 9 seçilirse:
- x = 3k = 27
- y = 4k = 36
- z = 66 − 7k = 66 − 63 = 3
Bu durumda:
- s(A) = x + z = 27 + 3 = 30
- s(B) = y + z = 36 + 3 = 39
- s(A ∩ B) = 3 (en küçük değer)
Tüm değerler tam sayı ve kümeler boş değil; koşullar sağlanır.
5. Sonuç
s(A ∩ B) minimum değerini aldığında s(A) = 30 bulunur.
Özet Tablo
| Değişken | Açıklama | Değer |
|---|---|---|
| x = s(A − B) | A’nın B’de olmayanları | 27 |
| y = s(B − A) | B’nin A’da olmayanları | 36 |
| z = s(A ∩ B) | A ile B’nin kesişimi | 3 |
| s(A) = x + z | A kümesinin eleman sayısı | 30 |
| s(B) = y + z | B kümesinin eleman sayısı | 39 |
| s(A ∪ B) | Birleşim kümesinin sayısı | 66 |
Görüldüğü gibi, s(A ∩ B) minimum olunca s(A) = 30 değerini alır.
Soru:
A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere,
4 · s(A − B) = 3 · s(B − A) ve
s(A ∪ B) = 66
olduğuna göre, s(A ∩ B) en küçük (minimum) değeri aldığında s(A) kaç olur?
Cevap:
İçindekiler
1. Problemin Özeti
Bu soruda iki farklı, boş olmayan küme A ve B veriliyor. Aşağıdaki koşullar sağlanıyor:
- 4 · s(A − B) = 3 · s(B − A)
- s(A ∪ B) = 66
Burada s(A − B), A kümesinde olup B’ye ait olmayan elemanların sayısı; s(B − A) ise B kümesinde olup A’ya ait olmayan elemanların sayısıdır. Ayrıca s(A ∩ B) A ile B’nin ortak elemanlarının sayısına karşılık gelir.
Soru: “s(A ∩ B) en küçük olduğunda s(A) kaçtır?”
2. Gerekli Kavramlar ve Notasyon
- s(A): A kümesinin eleman sayısı.
- s(B): B kümesinin eleman sayısı.
- s(A ∩ B): A ve B’nin ortak eleman sayısı.
- s(A ∪ B): A veya B’de (ya da her ikisinde) bulunan tüm elemanların sayısı. Formül:
s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B).
- s(A - B): A’da olup B’de olmayan elemanların sayısı, yani s(A) - s(A \cap B).
- s(B - A): B’de olup A’da olmayan elemanların sayısı, yani s(B) - s(A \cap B).
3. Adım Adım Çözüm
3.1. (1) Eşitliklerin Kurulması
Verilen iki temel eşitliği yazalım:
-
4 \cdot s(A - B) = 3 \cdot s(B - A).
-
s(A \cup B) = 66.
Birinci eşitlikte:
- s(A - B) = s(A) - s(A \cap B),
- s(B - A) = s(B) - s(A \cap B).
Dolayısıyla,
4 \bigl(s(A) - s(A \cap B)\bigr) \;=\; 3 \bigl(s(B) - s(A \cap B)\bigr).
İkinci eşitlikte:
s(A) + s(B) - s(A \cap B) \;=\; 66.
3.2. (2) Denklemlerin Düzenlenmesi
- Birinci Denklem
4 \bigl(s(A) - x\bigr) = 3 \bigl(s(B) - x\bigr), \quad \text{(kolaylık için } x = s(A \cap B)\text{)}.
Açılım yaparsak
4s(A) - 4x = 3s(B) - 3x \quad\Longrightarrow\quad 4s(A) - x = 3s(B) \quad\Longrightarrow\quad 3s(B) = 4s(A) - x.
Dolayısıyla
s(B) = \frac{4s(A) - x}{3}.
- İkinci Denklem
s(A) + s(B) - x = 66.
Az önceki ifadeyi yerleştirirsek
s(A) + \frac{4s(A) - x}{3} - x = 66.
3.3. (3) Küme Eleman Sayılarının Bütünleşik İncelenmesi
Denklemleri sadeleştirmek için ikinci denklemde ortak payda 3 yapalım:
\frac{3s(A)}{3} + \frac{4s(A) - x}{3} - x = 66 \quad\Longrightarrow\quad
\frac{3s(A) + 4s(A) - x}{3} - x = 66.
Bu da
\frac{7s(A) - x}{3} - x = 66
anlamına gelir. Birleştirirsek
\frac{7s(A) - x - 3x}{3} = 66
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{7s(A) - 4x}{3} = 66
\quad\Longrightarrow\quad
7s(A) - 4x = 198.
Burada $ x = s(A \cap B)’dir ve s(A), s(B), x $ mutlaka 0’dan büyük tam sayılardır (küme eleman sayıları doğal sayı olmak zorundadır ve “boş olmayan” dendiği için s(A)>0, s(B)>0).
Elde ettiğimiz son denklem:
7s(A) - 4x = 198.
3.4. (4) Minimum Kesişim Değerini Bulma
Biz, $ x = s(A \cap B)$’yi en küçük yapınca s(A) hangi değere karşılık geleceğini araştıracağız. Denklem,
x = \frac{7s(A) - 198}{4}.
$x$’in pozitif ve tam sayı olması gerekir. Ayrıca s(A-B) = s(A)-x > 0 ve s(B-A) = s(B) - x > 0 olması lazım. Dolayısıyla s(A) > x ve s(B) > x gereklilikleri de devrededir.
- x pozitif olsun diye
7s(A) - 198 \;>\; 0
\quad\Longrightarrow\quad
7s(A) \;>\; 198
\quad\Longrightarrow\quad
s(A) \;>\; \frac{198}{7}\approx 28.2857\dots
Dolayısıyla s(A) en az 29 olmalıdır.
- $x$’in tam sayı olması için (7s(A) - 198) ifadesinin 4’e tam bölünmesi gerekir.
“Sırasıyla s(A) değerlerini deneyerek $x$’i kontrol edelim” yaklaşımıyla:
- s(A)=30 değerinde:
x = \frac{7\cdot 30 - 198}{4} \;=\; \frac{210 - 198}{4} \;=\; \frac{12}{4} \;=\; 3.
Böylece x=3 pozitif ve tam sayı oldu.
Sonra $s(B)$’yi bulalım:
s(B)
= \frac{4s(A) - x}{3}
= \frac{4\cdot 30 - 3}{3}
= \frac{120 - 3}{3}
= \frac{117}{3}
= 39.
- s(A \cup B) = 30 + 39 - 3 = 66 sağlandı.
- s(A-B) = 30 - 3 = 27, s(B-A) = 39 - 3 = 36
ve 4 \cdot 27 = 108, 3 \cdot 36 = 108 eşitliği de tam sağladı.
Böylece tüm koşullar yerine geldi ve s(A \cap B) = 3 değeri elde edildi.
Daha küçük bir x için s(A) daha küçük denendiğinde ya x negatif çıkmakta ya da tam sayı olmamaktadır. Dolayısıyla en küçük kesişim (yani s(A \cap B) en küçük değeri) bu noktada sağlanmış olur. Tam da bu durumda s(A)=30 bulunur.
Dolayısıyla, “s(A ∩ B) minimum değerdeyken s(A) kaçtır?” sorusunun yanıtı: 30
4. Özet Tablo
| Değişken | Denklem/Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| s(A \cap B) = x | \dfrac{7\,s(A) - 198}{4} | Minimum olması için ilk pozitif tam sayı çözüme gidilir. |
| s(A) | 30 | Koşullar sağlandığında (ilk geçerli değer) |
| x = s(A \cap B) | 3 | En küçük kesişim sayısı |
| s(B) | 39 | Elde edilen uyumlu değer |
| s(A \cup B) | 66 | Verilen koşul |
| s(A-B) | 27 | s(A) - x = 30 - 3 |
| s(B-A) | 36 | s(B) - x = 39 - 3 |
| Denklemler | 4(s(A-B))=3(s(B-A)), \;s(A\cup B)=66 | Sorudaki temel eşitlikler |
5. Sonuç ve Değerlendirme
Verilen tüm koşullar altında kesişim eleman sayısı (s(A\cap B)) en küçük olacak biçimde yaptığımız hesaplamada s(A)=30 olarak bulunur. Soru seçeneklerinde de bu değer E şıkkı (30) olarak karşımıza çıkar.
Kısa Özet:
- Denklemlerin yardımıyla s(A), s(B), s(A\cap B) arasında ilişki kurduk.
- s(A\cap B) en küçük değerinde iken s(A)=30 gelmekte ve bu değer bütün koşulları sağlamaktadır.
Cevap: 30