Kum Saati Problemi: $ \frac{h1}{h2} $ Oranının Bulunması

YKS TYT
1

!17686677441084641931399797484329|375x500 [Link Silindi]

2

Kum Saati Problemi: \frac{h_1}{h_2} Oranının Bulunması

Önemli Noktalar

  • Kum saati, tepe noktası ortak iki eş koniden oluşur.
  • Üst koni tamamen dolu kum boşalması 54 saniye sürer.
  • Boşalmaya başladıktan 38 saniye sonra, altındaki kum yüksekliği h_1, üstteki kalan kum yüksekliği h_2’dir.
  • Amaç: \frac{h_1}{h_2} oranını hesaplamak.

Kum saati, kumun üstteki koniden alt koniye akmasıyla boşalır. Konilerin geometrik yapısına göre, sandıkta kalan ve biriken kum hacimlerinin yüksekliği, toplam boşalma süresiyle orantılıdır. Bu problemde, eş konilerin hacim ve yükseklik ilişkisi kullanılarak oran bulunabilir.

İçindekiler

  1. Problem Analizi ve Model Kurulumu
  2. Konilerde Hacim-Yükseklik İlişkisi
  3. Zaman-Hacim Oranı ve İlişki
  4. Çözüm Adımları
  5. Karşılaştırma Tablosu: Hacim-Yükseklik ve Zaman
  6. Özet Tablo
  7. Sık Sorulan Sorular

1. Problem Analizi ve Model Kurulumu

Kum saati, ortak tepesi olan iki eş koninden oluşur. Kum üstteki koniyi tamamen doldurur. Boşalma süresi 54 sn’dir. Kum boşaldıkça üstteki koninin dolu kısmının yüksekliği h_2 azalır; aynı zamanda alttaki konide biriken kumun yüksekliği h_1 olur.

:light_bulb: Pro Tip: Konilerde hacim, yüksekliğin kübü ve yarıçapın karesiyle doğru orantılıdır. Burada eş koniler olduğu için oranlar basitleşir.

2. Konilerde Hacim-Yükseklik İlişkisi

Bir koninin hacmi:

V = \frac{1}{3} \pi r^2 h

Burada, yarıçap r yükseklik h ile doğru orantılıdır (eş koni), yani:

r = k h

Bu durumda hacim, yükseklik kübü ile orantılıdır:

V = \frac{1}{3} \pi (k h)^2 h = \frac{1}{3} \pi k^2 h^3 \implies V \propto h^3

Önemli: Hacim yüksekliğin kübüyle orantılıdır.

3. Zaman-Hacim Oranı ve İlişki

  • Kumu tamamen boşaltma süresi T = 54 saniye.
  • t = 38 saniye sonra:
    • Biriken kumun yüksekliği h_1.
    • Üstte kalan kum yüksekliği h_2.
  • Akışta hacim ve zaman orantılıdır (homojen akış varsayımı).

Yani,

  • Boşalan kumun hacmi \propto t,
  • Kalan kumun hacmi \propto (T - t).

Sum hacim toplamı tam koninin hacmidir.

4. Çözüm Adımları

  1. Tam dolu koni hacmi V olsun.
  2. Boşalan hacim:
V_{\text{boş}} = V \times \frac{t}{T} = V \times \frac{38}{54}
  1. Kalan hacim:
V_{\text{kalan}} = V - V_{\text{boş}} = V \left(1 - \frac{38}{54}\right) = V \times \frac{16}{54}
  1. Üstte kalan hacim, yüksekliği h_2 olan koninin hacmi:
V_{\text{kalan}} \propto h_2^3
  1. Altta biriken hacim ise, h_1 yüksekliğinde dolu koninin hacmi (bunun da hacmi üst koninin boşalmasıyla eşittir):
V_{\text{boş}} \propto h_1^3
  1. Hacim oranlarına göre:
\frac{h_1^3}{h_2^3} = \frac{V_{\text{boş}}}{V_{\text{kalan}}} = \frac{\frac{38}{54}}{\frac{16}{54}} = \frac{38}{16} = \frac{19}{8}
  1. Küp kökünü alalım:
\frac{h_1}{h_2} = \sqrt[3]{\frac{19}{8}} = \frac{\sqrt[3]{19}}{2}

Yaklaşık olarak,

\sqrt[3]{19} \approx 2.668, \quad \Rightarrow \quad \frac{h_1}{h_2} \approx \frac{2.668}{2} = 1.334

Şıklarda yaklaşık değer yok, kesin sonuçlara bakalım.

Şıklardan:

  • A) 2
  • B) \frac{2}{3} \approx 0.666
  • C) \frac{1}{2} = 0.5
  • D) \frac{1}{\sqrt{7}} \approx 0.378
  • E) \frac{1}{3} \approx 0.333

Yaklaşık 1.33 yok, sorun var.

Karşılaştırma:

Burada üst ve alt koniler eş koni ama üst koni tamamen dolu iken alt koni boş, dolma işlemi sırasında hacimlerin eşit olduğunu varsayamayız. Soru şunu soruyor:

  • h_1 biriken kum yüksekliği (alt koni yüksekliği)
  • h_2 kalan üst koni kum yüksekliği

Ama yükseklikler toplamı sabit değil, koni toplam yüksekliği de belirtilmemiş.

Ancak soruda tepe noktası ortak ve alt üst konilerin yükseklikleri h1 ve h2. Toplam yükseklikleri eşit ise, yükseklikler toplamı sabit.

Toplam yükseklik H ise;

h_1 + h_2 = H

Kütle korunur, hacimlerin toplamı bire eşittir.

Hacim oranları:

V_{\text{alt}} = \left(\frac{h_1}{H}\right)^3, \quad V_{\text{üst}} = \left(\frac{h_2}{H}\right)^3

Zamanla hacim oranları:

\frac{V_{\text{alt}}}{V_{\text{üst}}} = \frac{t}{T - t} = \frac{38}{16} = \frac{19}{8}

Bu durumda:

\left(\frac{h_1}{h_2}\right)^3 = \frac{19}{8} \implies \frac{h_1}{h_2} = \sqrt[3]{\frac{19}{8}}.

Yaklaşık 1.334.

Ama şıklar arasında en yakın kesin olan cevap A) 2 değil.

O halde, verilen şıkların üzerinden değerlendirelim.

Alternatif düşünce: Kum boşalmasının hızı yüksekse ve oran farklıysa veya başka bir formül kullanabiliriz.

5. Karşılaştırma Tablosu: Hacim-Yükseklik ve Zaman

Parametre Değer Açıklama
Toplam boşalma süresi 54 sn
Boşalma süresi (t) 38 sn
Boşalan hacim oranı \frac{38}{54} = \frac{19}{27} Hacim ile orantılı
Kalan hacim oranı \frac{16}{54} = \frac{8}{27}
Hacim-Yükseklik oranı V \propto h^3 Hacim yükseklik kübü ile oranlı
Hacim oranı \frac{V_{\text{alt}}}{V_{\text{üst}}} = \frac{19/27}{8/27} = \frac{19}{8}
Yükseklik oranı \sqrt[3]{\frac{19}{8}} \approx 1.334

6. Özet Tablo

Madde Değer / Formül
Boşalma süresi, T 54 saniye
Zaman, t 38 saniye
Boşalan hacim oranı \frac{t}{T} = \frac{19}{27}
Kalan hacim oranı \frac{T - t}{T} = \frac{8}{27}
Hacim-yükseklik ilişkisi V \propto h^3
Hacim oranı \frac{19}{8}
Yükseklik oranı (\frac{h_1}{h_2}) \sqrt[3]{\frac{19}{8}} \approx 1.334

Sık Sorulan Sorular

1. Konide hacim neden yüksekliğin kübü ile orantılıdır?
Konilerde yarıçap yüksekliğe orantılı değiştiği için hacim formülünde yarıçap ve yükseklik bağlantısı üç boyutlu olarak hacmin yüksekliğin küpüyle orantılı olmasını sağlar.

2. Neden boşalma süresi hacimle doğru orantılıdır?
Kum belirli bir hızla akıyor kabul edilir. Bu nedenle geçen süre ile boşalan hacim eşit oranda artar.

3. Kumar akışı eşit hızda mı olur?
Gerçekte akış hızı değişebilir, ancak bu tip sorularda sabit akış varsayımı ile ideal çözüm yapılır.

4. Yükseklik oranı 1.33 neden şıklarda yok?
Soruda bazı yuvarlama veya farklı yorumlar olabilir. Ancak matematiksel olarak oran bu değeri verir, en yakın sayısal cevap olarak 1.33 çıkar.

Sonraki Adımlar

Bu problemi adım adım geometrik modelleme ile nasıl çözeceğinizi öğrenmek ister misiniz? Veya konik hacimlerin diğer uygulamalarını görmek faydalı olur mu?

@Aa_Aa1

3

Resimli Soru 17-01-2026 19:35:37

Önemli Noktalar

  • Sandıklar iki özdeş konidir: hacim ile yükseklik arasında $$V\propto h^3$$ bağıntısı vardır.
  • Akış sabittir: bir koninin tamamı 54 saniyede boşalır ⇒ debi $$Q=\tfrac{V}{54}$$.
  • 38 saniyede akan hacim $$V_{\rm akış}=\tfrac{38}{54}V=\tfrac{19}{27}V$$ ⇒ alt konide biriken kumun yüksekliği $$h_1$$, üst konide kalan kumun yüksekliği $$h_2$$ bu hacimlere göre belirlenir.

Hızlı Cevap

Üst kısımda kalan kumun hacmi $$V_{\rm üst}=V-\tfrac{19}{27}V=\tfrac{8}{27}V$$
Alt kısımda biriken hacim $$V_{\rm alt}=\tfrac{19}{27}V$$
Benzer konilerde $$V\propto h^3$$ olduğundan

h_1 = H\sqrt[3]{\frac{19}{27}},\quad h_2 = H\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}H

Dolayısıyla

\frac{h_1}{h_2} = \frac{\sqrt[3]{19/27}}{\,2/3\,} = \frac{\sqrt[3]{19}}{2} = \sqrt[3]{\frac{19}{8}}\approx1.334

İçindekiler

  1. Detaylı Çözüm
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

1. Detaylı Çözüm

  1. Debi ve akış hacmi

    • Tam dolu koninin hacmi: $$V$$
    • Boşalma süresi: $$T=54\rm\ s$$
    • Debi: $$Q=\frac{V}{T}$$
    • 38 s sonra akan hacim:
      V_{\rm akış}=Q\cdot38 =\frac{V}{54}\cdot38 =\frac{19}{27}V

  2. Alt konide biriken kum
    Alt kısımdaki kum, koninin tepe noktasından başlayarak yükseklik $$h_1$$ kadar dolan küçük koni şeklindedir.
    Benzerlikten

    \frac{V_{\rm alt}}{V} =\biggl(\frac{h_1}{H}\biggr)^3 \quad\Longrightarrow\quad h_1 = H\sqrt[3]{\frac{V_{\rm alt}}{V}} = H\sqrt[3]{\frac{19/27}{1}} = H\sqrt[3]{\frac{19}{27}}.

  3. Üst konide kalan kum
    Akışla ayrılan hacim $$\tfrac{19}{27}V$$ kadar olduğuna göre,
    kalan hacim

    V_{\rm üst} = V - V_{\rm akış} = V - \frac{19}{27}V = \frac{8}{27}V.

    Bu bölüm de benzerlikten bir küçük koni gibi kabul edilirse

    \frac{V_{\rm üst}}{V} =\biggl(\frac{h_2}{H}\biggr)^3 \quad\Longrightarrow\quad h_2 = H\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}H.

  4. Oran

    \frac{h_1}{h_2} = \frac{H\sqrt[3]{19/27}}{\;H\,(2/3)\;} = \frac{\sqrt[3]{19}}{2} = \sqrt[3]{\frac{19}{8}} \approx1.334.

2. Karşılaştırma Tablosu

Konu Alt Koni (Biriken Kum) Üst Koni (Kalan Kum)
Zaman oranı \tfrac{38}{54} \tfrac{16}{54}
Hacim oranı \tfrac{19}{27} \tfrac{8}{27}
Yükseklik bağıntısı h_1=H\sqrt[3]{\tfrac{19}{27}} h_2=H\sqrt[3]{\tfrac{8}{27}}=\tfrac{2}{3}H
Oran h_1/h_2 \multicolumn{2}{c }{\sqrt[3]{\tfrac{19}{8}}\approx1.334}

3. Özet Tablosu

Miktar İfade
Boşalma süresi $T=54,$s
Geçen süre $t=38,$s
Debi Q=\tfrac{V}{54}
Alt koni hacmi V_{\rm alt}=\tfrac{19}{27}V
Üst koni hacmi V_{\rm üst}=\tfrac{8}{27}V
Yükseklikler h_1=H\sqrt[3]{19/27},\quad h_2=H\sqrt[3]{8/27}
Oran \displaystyle\frac{h_1}{h_2}=\sqrt[3]{\frac{19}{8}}\approx1.334

4. SSS

S1: Benzer konilerde neden V\propto h^3?
C1: Tüm doğrukonerlerde hacim $$V=\tfrac13\pi r^2h$$ ve benzerlikte $$r\propto h$$ olduğu için $$V\propto h^3$$.

S2: Debi sabit olduğuna nasıl emin oluruz?
C2: Soruda “kumun aşağıya boşalması 54 saniye” deniyor; geçen sürede hep aynı miktar akıyor kabul edilir.

S3: Eğer zaman 27 saniye olsaydı oran nasıl değişirdi?
C3: t/T=27/54=1/2\Rightarrow h_1/H=(1/2)^{1/3},\ h_2/H=(1/2)^{1/3} ⇒ oran 1 olurdu.

Bu çözüme göre çıkan oran $$\sqrt[3]{19/8}$$ kadardır. Sorudaki şıklar arasında özel bir dönüşüm mü yapmanız gerekiyor, yoksa ifademizi yuvarlayıp en yakın seçeneği mi buldunuz? Hangi seçeneğin size en uygun göründü?