Köşelerinden ikisi A ve B noktaları olan şekildeki küpün iki ayrıtının orta noktaları C ve D olarak veriliyor: Bu

DGS
1

Köşelerinden ikisi A ve B noktaları olan şekildeki küpün
iki ayrıtının orta noktaları C ve D olarak veriliyor:
osM
Bu noktaların oluşturduğu ABCD dörtgeninin alanı
8V5 birimkare olduğuna göre küpün hacmi kaç
birimküptür?
A),e
E)
Cevap Anahtar:C

Soru Görseli
Soru Görseli846×800 72 KB

2

Küp İçindeki ABCD Dörtgeninin Alanından Hacim Hesaplama

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER:

  • Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende a^2 + b^2 = c^2
  • Dikdörtgen Alanı: \text{Taban} \times \text{Yükseklik}
  • Küpün Hacmi: V = a^3 (burada a bir ayrıt uzunluğudur)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Küpün Ayrıtlarını Tanımlama
Küpün bir ayrıt uzunluğuna 2x diyelim. C ve D noktaları orta noktalar olduğu için, bulundukları ayrıtları x ve x olarak ikiye bölerler. Bu durumda:

  • |AB| = 2x (Küpün taban ayrıtı)
  • |CD| = 2x (Üst ayrıta paralel ve aynı uzunlukta)

Adım 2 — ABCD Dörtgeninin Kenar Uzunluğunu Bulma
ABCD bir dikdörtgendir. Bu dikdörtgenin yan kenarı olan |BC| (veya |AD|), küpün yüzeyindeki bir dik üçgenin hipotenüsüdür.

  • Bu dik üçgenin bir kenarı küpün dikey ayrıtı (2x), diğer kenarı ise üst yüzeydeki yarım ayrıttır (x).
  • Pisagor teoreminden: |BC|^2 = (2x)^2 + x^2
  • |BC|^2 = 4x^2 + x^2 = 5x^2
  • |BC| = x\sqrt{5} birim bulunur.

Adım 3 — Alan Denkleminden x Değerini Çıkarma
ABCD dikdörtgeninin alanı |AB| \times |BC| formülü ile hesaplanır.

  • \text{Alan} = 2x \times x\sqrt{5} = 2x^2\sqrt{5}
  • Soruda alan 8\sqrt{5} olarak verilmiş:
  • 2x^2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}
  • 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 birim.

Adım 4 — Küpün Hacmini Hesaplama
Küpün bir ayrıtına 2x demiştik.

  • Bir ayrıt (a) = 2 \times 2 = 4 birimdir.
  • \text{Hacim} = a^3 = 4^3
  • \text{Hacim} = 4 \times 4 \times 4 = 64 birimküp.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 64 (C Şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Orta Nokta Özelliği

  • Tanım: Bir doğru parçasını iki eş parçaya bölen noktadır.
  • Bu problemde: Küpün ayrıtı 2x seçilerek rasyonel sayılarla uğraşmadan x ve x şeklinde paylaştırılmıştır.

2. Üç Boyutlu Cisimlerde Kesit Alanı

  • Tanım: Bir cismin içinden geçen düzlemin oluşturduğu yüzeydir.
  • Bu problemde: ABCD dikdörtgeni küpün içinde eğik bir düzlem oluşturur ve yüksekliği Pisagor yardımıyla hesaplanır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Hatalı Kenar Seçimi

  • Yanlış: |BC| kenarını direkt küpün ayrıtına (2x) eşit almak.
  • Doğru: |BC| bir yüzey köşegeni gibi eğik durduğu için Pisagor ile hesaplanmalıdır.
  • Neden: Dikdörtgen küpün yüzeyine paralel değil, içinden çapraz geçmektedir.

Bu soruda Pisagor bağıntısını uygularken ayrıtın tamamını mı yoksa yarısını mı kullandığımıza dikkat etmek çözümün anahtarıdır. Benzer bir şekilde, bu dikdörtgenin yerine küpün tam köşegeninden geçen bir kesit alanı sorulsaydı nasıl bir yol izlerdik, incelemek ister misin?