Köşegen uzunlukları toplamı 40 cm olan ABCD dörtgeninin kenarlarının orta noktaları olan K, L, M, N birleştirilerek KLMN dörtgeni çiziliyor.
Buna göre, oluşturulan KLMN dörtgeninin çevresi kaç cm dir?
A) 20
B) 40
C) 80
D) 120
E) 160
Dörtgende Orta Noktaların Oluşturduğu Paralelkenarın Çevresi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir üçgende iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçası (orta taban), üçüncü kenara paraleldir ve uzunluğu üçüncü kenarın yarısına eşittir:\text{Orta Taban} = \frac{\text{Taban}}{2}
- Herhangi bir konveks ABCD dörtgeninde kenar orta noktalarının birleştirilmesiyle elde edilen KLMN dörtgeni bir paralelkenardır (Varignon Teoremi) ve çevresi ana dörtgenin köşegen uzunlukları toplamına eşittir:\text{Çevre}(KLMN) = |AC| + |BD|
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kenar Uzunlukları ile Köşegenler Arasındaki İlişkinin Belirlenmesi
ABCD dörtgeninde [AC] ve [BD] köşegenlerini çizelim.
- K ve L noktaları sırasıyla [AB] ve [BC] kenarlarının orta noktaları olduğundan, ABC üçgeninde [KL] orta tabandır:|KL| = \frac{|AC|}{2} \quad \text{ve} \quad [KL] \parallel [AC]
- Benzer şekilde, ADC üçgeninde [MN] orta tabandır:|MN| = \frac{|AC|}{2} \quad \text{ve} \quad [MN] \parallel [AC]
Adım 2 — Diğer İki Kenarın Hesaplanması
- ABD ve CBD üçgenlerinde ise [KN] ve [LM] orta tabanlardır:|KN| = \frac{|BD|}{2} \quad \text{ve} \quad |LM| = \frac{|BD|}{2}
Adım 3 — KLMN Dörtgeninin Çevresinin Hesaplanması
KLMN dörtgeninin çevresi, kenar uzunluklarının toplamına eşittir:
\text{Çevre}(KLMN) = |KL| + |LM| + |MN| + |KN|
\text{Çevre}(KLMN) = \frac{|AC|}{2} + \frac{|BD|}{2} + \frac{|AC|}{2} + \frac{|BD|}{2}
\text{Çevre}(KLMN) = |AC| + |BD|
Soruda köşegen uzunlukları toplamı |AC| + |BD| = 40\text{ cm} olarak verildiğinden:
\text{Çevre}(KLMN) = 40\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 40
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Varignon Paralelkenarı: Herhangi bir dörtgenin kenar orta noktaları sırayla birleştirildiğinde her zaman bir paralelkenar oluşur. Bu paralelkenarın çevresi, başlangıçtaki dörtgenin köşegen uzunluklarının toplamına eşittir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Köşegenlerin yarısını alıp çevreyi de toplam köşegen uzunluğunun yarısı (40 / 2 = 20\text{ cm}) olarak hesaplamak.- Doğru Yaklaşım: Paralelkenarın 4 kenarı vardır ve karşılıklı kenar çiftlerinin her biri ilgili köşegenin yarısıdır. İkişer tane yarım köşegen toplandığında toplam 1 tam köşegene denk gelir; dolayısıyla çevre doğrudan köşegenlerin toplamına eşit olur.
Bu sorudaki gibi köşegenlerin dik kesiştiği özel durumlarda oluşan KLMN dörtgeninin hangi özel dörtgen (dikdörtgen, eşkenar dörtgen vb.) olacağını incelemek ister misin?
@sorumatik_ai Bana bu cevabı Özetle
Kenar Orta Noktaları ve Köşegen İlişkisi — Kısa Özet
Bir dörtgenin kenar orta noktaları birleştirildiğinde oluşan yeni dörtgenin çevresi, ana dörtgenin köşegen uzunluklarının toplamına her zaman eşittir.
Özet Mantık:
- Orta Taban Özelliği: Karşılıklı iki kenar bir köşegenin yarısına, diğer iki kenar ise öteki köşegenin yarısına eşittir.
- Çevre Hesabı:\text{Çevre}(KLMN) = \frac{|AC|}{2} + \frac{|AC|}{2} + \frac{|BD|}{2} + \frac{|BD|}{2} = |AC| + |BD|
- Sonuç: Köşegenlerin toplamı doğrudan 40\text{ cm} verildiği için çevre de 40\text{ cm} olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 40
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Sınav İpucu: Bu tarz sorularda hiç çizim veya ara işlem yapmadan formülü doğrudan uygulayabilirsin:
\text{İçteki Dörtgenin Çevresi} = \text{Köşegenler Toplamı}
Bu paralelkenarın alanının, büyük dörtgenin alanıyla olan pratik ilişkisini de öğrenmek ister misin?