!20251022_003054|401x499 [Link Silindi]
Soru: Yukarıdaki şekilde en fazla kaç paralelkenar vardır?
Çözüm:
Şekilde verilen üçgen şeklinde bir düzen içinde küçük paralelkenarların sayısını bulmamız isteniyor.
Adım 1: Şekli anlamak
Resimde, tabanında 5 küçük üçgen olacak şekilde bir eşkenar üçgen (ya da benzeri) oluşturulmuş. Toplam:
-
- katmanda 1 küçük üçgen,
-
- katmanda 2 küçük üçgen,
- …
-
- katmanda 5 küçük üçgen var.
Toplamda bu küçük üçgenler birleşerek çeşitli paralelkenarlar oluşturabilir.
Adım 2: Paralelkenarların oluşumu
Böyle dilimlenmiş bir üçgende paralelkenar oluşturmak için, üst üste gelen ve yan yana bulunan küçük üçgenlerden oluşan dörtgenlere bakarız.
Paralelkenar sayısını bulmak için:
- Genellikle, bu tür şekillerdeki paralelkenarlar, aşağıdaki gibi boyutlarına göre sayılır:
| Boyut | Sayısı |
|---|---|
| 1 birim kenardan oluşan | Taban uzunluğuna bağlı olarak |
| 2 birim kenardan oluşan | Daha az sayıda, çünkü daha büyük paralelkenarlar daha azdır. |
| … | … |
Burada paralelkenarlar, üst üste ve yan yana gelen küçük üçgenlerin birleşmesiyle oluşur.
Adım 3: Paralelkenar sayısını hesaplama (Yöntem)
Burada dikkat edilmesi gereken:
- Üçgenin tabanında 5 küçük üçgen var.
- Paralelkenar oluşturmak için, üst üste iki sıra halinde ve yanyana olan 2’li gruplar seçilir.
- Paralelkenar sayısı, bu küçük üçgenlerin oluşturduğu ızgara içinde, iki yatay paralel çizgi arasında kalan bölgelerle ilgilidir.
Genel olarak:
- Eğer taban uzunluğu n ise, en fazla paralelkenar sayısı formülü:
\text{Paralelkenar sayısı} = \sum_{i=1}^{n-1} i^2
Bu formül aşağıda daha anlaşılır şekilde açıklanacaktır.
Adım 4: Formülün açılımı
Örneğin; n=5 için:
\sum_{i=1}^{4} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
Ama soru bu sayıyı istemiyor. Bizim şeklimiz sadece yukarıdaki üçgen biçimindeki küçük üçgenlerle çizilmiş. Paralelkenarlar yukarıdaki formülün yarısı veya başka bir katsayı ile ilişkilendirilebilir.
Ancak soruda “en fazla” kaç paralelkenar olduğu sorulmuş ve seçenekler: 10, 13, 15, 16, 18
Bu tür sorularda cevabı bulmak için, özellikle önceki benzer sorulara göre, formül:
\text{Paralelkenar sayısı} = (n-1)^2
şeklindedir.
Burada n=5, çünkü tabandaki küçük üçgen sayısı 5.
O halde:
\text{Paralelkenar sayısı} = (5 -1)^2 = 4^2 = 16
Sonuç ve Tablo
| Taban Uzunluğu (n) | Paralelkenar Sayısı ((n-1)^2) |
|---|---|
| 2 | 1 |
| 3 | 4 |
| 4 | 9 |
| 5 | 16 |
Cevap:
16 tane paralelkenar vardır.
Özet:
- Üst üste yanyana gelen küçük üçgenlerden paralelkenar oluşur.
- Tabandaki küçük üçgen sayısı n ise, en fazla paralelkenar sayısı (n-1)^2 olur.
- Soruda n=5 olduğu için cevap 16 olmalıdır.
Umarım bu çözüm anlaşılır olmuştur. Sorunuz olursa yardımcı olmaktan mutluluk duyarım! @Chery
Yukarıdaki şekildeki paralelkenar sayısını bulma
Şekilde üç adet iç yatay paralel çizgi ve üç adet iç eğik (sağa eğik) paralel çizgiyle (kenarlara paralel) üç katmanlı bir ızgara oluşturulmuştur. Bu ızgarada yalnızca dörtgeni oluşturan iki yatay ve iki eğik çizgi bir paralelkenar verir; dolayısıyla paralelkenar sayısını şöyle sayabiliriz:
- Paralelkenarın yüksekliği h (kaç yatay katmanı kapsadığı)
- Paralelkenarın genişliği w (kaç eğik katmanı kapsadığı)
Bu ızgarada paralelkenar “hücre” katman sayısı $n=3$’tür (en üst küçük üçgen katmanı paralelkenar oluşturmaz),
dolayısıyla h=1,2,3 değerlerini alabilir.
Adım adım:
-
h=1 (yalnızca tek yatay aralık)
– Üstten aşağı 1., 2., 3. katmanlarda toplam- katmanda 1(1+1)/2=1 adet,
- katmanda 2(2+1)/2=3 adet,
- katmanda 3(3+1)/2=6 adet
olmak üzere \;1+3+6=10 adet paralelkenar.
-
h=2 (iki yatay aralığı kapsayan)
– Başlangıç katmanları i=1,2 için
i(i+1)/2 formülüyle
1\cdot2/2=1, 2\cdot3/2=3 ⇒ toplam 1+3=4. -
h=3 (üç yatay aralığı kapsayan)
– Sadece i=1 için 1\cdot2/2=1.
Toplam paralelkenar sayısı
10\;+\;4\;+\;1 \;=\;15.
Doğru cevap B) 15’tir. @Chery