Karekök 75 sayısı a√b şeklinde nasıl yazılır? Karekök 50 veya karekök 120 sayısının yaklaşık değeri sayı doğrusunda hangi iki tam sayı arasındadır ve hangisine daha yakındır?
[Özet Yanıt]
Kök içindeki sayıyı a\sqrt{b} biçiminde yazmak için sayı, biri tam kare olacak şekilde iki sayının çarpımı olarak yazılır (\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}). Bir köklü sayının yaklaşık değerini bulmak için sayıdan önceki ve sonraki en yakın tam kare sayılara bakılır: \sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64} \implies 7 < \sqrt{50} < 8 olur ve 50-49=1 olduğundan 7’ye çok yakındır (\approx 7,07).
1. Kök Dışına Çıkarma Yöntemleri
- Tam Kare Çarpan Yöntemi: Kök içindeki sayı tam kare çarpanlarına ayrılır:\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}
- Asal Çarpan Algoritması: Çift çıkan her iki aynı asal sayı kök dışına 1 adet olarak çıkar, tek kalan içeride hapsolur.
2. Yaklaşık Değer Hesaplama Formülü (Hızlı Tahmin)
\sqrt{X} \approx A + \frac{X - A^2}{B^2 - A^2}
Burada A^2 < X < B^2 ardışık tam karelerdir.
Örnek: \sqrt{50} Yaklaşık Değeri:
- 7^2 = 49 ve 8^2 = 64. Sayımız 49 ile 64 arasındadır (7 ile 8 arası).
- Formülü uygularsak:\sqrt{50} \approx 7 + \frac{50 - 49}{64 - 49} = 7 + \frac{1}{15} \approx 7 + 0,066 = 7,07
Kareköklü Sayıların a\sqrt{b} Biçimi ve Yaklaşık Değerleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Kök Dışına Çıkarma Kuralı: \sqrt{a^2 \cdot b} = |a|\sqrt{b}
- Yaklaşık Değer Bulma (Tam Kare Aralıkları): x^2 < N < (x+1)^2 \implies x < \sqrt{N} < x+1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \sqrt{75} Sayısını a\sqrt{b} Biçiminde Yazma
Kök içindeki sayıyı, biri tam kare olacak şekilde iki çarpanın çarpımı olarak yazalım:
75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3
Tam kare olan 25 (5^2), kök dışına 5 olarak çıkar:
\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}
Adım 2 — \sqrt{50} Sayısının Sayı Doğrusundaki Konumunu Belirleme
50 sayısından küçük en büyük tam kare sayı 49 (7^2), büyük en küçük tam kare sayı ise 64’tür (8^2):
49 < 50 < 64
Eşitsizliğin her tarafının karekökünü alalım:
\sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64} \implies 7 < \sqrt{50} < 8
Hangi sayıya daha yakın olduğunu bulmak için farklara bakalım:
- 50 - 49 = 1
- 64 - 50 = 14
50 sayısı 49’a çok daha yakın olduğu için \sqrt{50} sayısı 7 ile 8 tam sayıları arasındadır ve 7’ye daha yakındır (\sqrt{50} \approx 7{,}07).
Adım 3 — \sqrt{120} Sayısının Sayı Doğrusundaki Konumunu Belirleme
120 sayısını içine alan ardışık tam kare sayıları belirleyelim:
100 < 120 < 121
Kareköklerini aldığımızda:
\sqrt{100} < \sqrt{120} < \sqrt{121} \implies 10 < \sqrt{120} < 11
Farkları karşılaştıralım:
- 120 - 100 = 20
- 121 - 120 = 1
120 sayısı 121’e sadece 1 birim uzaklıkta olduğundan, \sqrt{120} sayısı 10 ile 11 tam sayıları arasındadır ve 11’e çok daha yakındır (\sqrt{120} \approx 10{,}95).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- \sqrt{75} = \mathbf{5\sqrt{3}}
- \sqrt{50} sayısı 7 ile 8 arasındadır ve 7’ye daha yakındır.
- \sqrt{120} sayısı 10 ile 11 arasındadır ve 11’e daha yakındır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Tam Kare Sayı: Bir tam sayının karesi olan sayılardır (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, \dots).
- Aralık Tayini: Tam kare olmayan bir sayının karekökü irrasyoneldir; sayı doğrusundaki yeri, kendisinden önceki ve sonraki en yakın tam kare sayılarla sınırlandırılarak bulunur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Sayının kök içindeki değerinin yarısını alarak yaklaşık değer tahmin etmeye çalışmak (Örneğin: \sqrt{50} \approx 25 demek).- Doğru Yaklaşım: Karekökün yaklaşık değerini bulurken her zaman kök içindeki sayıyı çevreleyen ardışık tam kare sayıların karekökleri üzerinden inceleme yapılmalıdır.
Bu konuyu pekiştirmek için \sqrt{108} sayısını a\sqrt{b} biçiminde yazıp \sqrt{80} sayısının hangi tam sayıya daha yakın olduğunu birlikte bulalım mı?