Örnek 1
Köklerinden biri 3 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir
denklemin köklerinin simetrik kök olduğu biliniyor.
Buna göre, bu denklemi bulunuz.
Köklerinden biri 3 olan simetrik köklü ikinci dereceden denklemin bulunması
KULLANILAN KAVRAM VE FORMÜLLER:
- Simetrik Kök: İkinci dereceden bir denklemde kökler toplamının sıfır olması durumudur. Eğer köklerden biri x_1 = a ise, diğeri bunun ters işaretlisi olan x_2 = -a olur.
- Denklem Kurma Formülü: Kökleri x_1 ve x_2 olan denklem: (x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0 veya x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0 şeklinde yazılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Diğer Kökü Belirleme
Soruda denklemin köklerinin simetrik kök olduğu belirtilmiştir. Köklerden biri x_1 = 3 olarak verildiğine göre, simetrik kök tanımı gereği diğer kök bunun zıt işaretlisi olmalıdır.
x_2 = -3
Adım 2 — Kökler Toplamını ve Çarpımını Hesaplama
Denklemi oluşturmak için gerekli değerleri bulalım:
- Kökler Toplamı (T): 3 + (-3) = 0
- Kökler Çarpımı (Ç): 3 \cdot (-3) = -9
Adım 3 — Denklemi Oluşturma
İkinci dereceden denklem genel formu x^2 - Tx + Ç = 0 şeklindedir. Bulduğumuz değerleri yerine koyalım:
x^2 - (0)x + (-9) = 0
x^2 - 9 = 0
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: x^2 - 9 = 0
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Simetrik Kök
- Tanım: Bir denklemin köklerinin mutlak değerce eşit fakat işaretçe zıt olmasıdır.
- Bu problemde: Kökler 3 ve -3 olduğu için toplamları 0 olmuştur. Bu durum, denklemde x’li terimin (yani bx teriminin) katsayısının sıfır olduğu anlamına gelir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Simetrik Kökü Karıştırmak
- Yanlış: Simetrik kökü, köklerin birbirine eşit olması (x_1 = x_2) sanmak.
- Doğru: Köklerin birbirine eşit olması “çakışık kök” veya “tam kare” durumudur. Simetrik kök ise x_1 = -x_2 durumudur.
- Neden Yanlış: Eğer kökler eşit alınırsa denklem (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 = 0 çıkar ki bu simetrik kök şartını sağlamaz.
Bu çözüm yoluyla ilgili aklına takılan veya benzer mantıkla çözmemi istediğin başka bir soru var mı?