KLM üçgen; K, L, F noktaları doğrusal,

Question Answer
1

KLM üçgen; K, L, F noktaları doğrusal,
m(widehat{KLP}) = m(widehat{PLN}), m(widehat{NLM}) = m(widehat{FLM})
|KP| = 3 birim, |NM| = 10 birim
Yukarıdaki verilere göre, |PN| = x kaç birimdir?
A) 2
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7

KLM üçgen; K, L, F noktaları doğrusal, m(widehat KLP ) = m(widehat PLN ), m(widehat NLM...
KLM üçgen; K, L, F noktaları doğrusal, m(widehat KLP ) = m(widehat PLN ), m(widehat NLM...944×800 77 KB

2

Üçgende İç ve Dış Açıortay Teoremi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir üçgende aynı köşeye ait iç ve dış açıortaylar için açıortay teoremleri geçerlidir:

  • İç Açıortay Teoremi: \dfrac{|LK|}{|LN|} = \dfrac{|KP|}{|PN|}
  • Dış Açıortay Teoremi: \dfrac{|LK|}{|LN|} = \dfrac{|KM|}{|NM|}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Doğrusal Açıları Tanımlama ve Açıortayları Belirleme
K, L, F noktaları doğrusal olduğundan bu doğru üzerindeki açıların toplamı 180^\circ’dir:

m(\widehat{KLP}) = m(\widehat{PLN}) = \alpha
m(\widehat{NLM}) = m(\widehat{FLM}) = \beta
2\alpha + 2\beta = 180^\circ \implies \alpha + \beta = 90^\circ

Bu durumda KLN üçgeni dikkate alındığında:

  • [LP] ışını, L köşesine ait iç açıortaydır.
  • [LM] ışını ise, L köşesindeki dış açıyı (\widehat{NLF}) iki eşit parçaya böldüğü için dış açıortaydır.

Adım 2 — İç Açıortay Bağıntısını Yazma
KLN üçgeninde [LP] iç açıortay bağıntısını uygulayalım:

\frac{|LK|}{|LN|} = \frac{|KP|}{|PN|} = \frac{3}{x}

Adım 3 — Dış Açıortay Bağıntısını Yazma
KLN üçgeninde [LM] dış açıortayı, KN kenarının uzantısını M noktasında kesmektedir:

  • |KM| = |KP| + |PN| + |NM| = 3 + x + 10 = x + 13
  • |NM| = 10

Dış açıortay teoremini yazarsak:

\frac{|LK|}{|LN|} = \frac{|KM|}{|NM|} = \frac{x + 13}{10}

Adım 4 — Eşitliği Kurup x Değerini Bulma
Her iki orantı da \dfrac{|LK|}{|LN|} oranına eşit olduğundan:

\frac{3}{x} = \frac{x + 13}{10}

İçler-dışlar çarpımı yapalım:

x(x + 13) = 30
x^2 + 13x - 30 = 0

İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım:

(x + 15)(x - 2) = 0

Uzunluk negatif olamayacağından (x > 0):

x = 2\text{ birim}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Dış Açıortay Bağıntısı: Dış açıortayın uzantıyı kestiği noktanın üçgenin taban köşelerine olan uzaklıkları oranı, üçgenin kenarları oranına eşittir.
  • Tümleri-Bütünleri İlişkisi: Komşu bütünler iki açının açıortayları arasındaki açı daima 90^\circ’dir (\alpha + \beta = 90^\circ).

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Dış açıortay teoreminde taban oranını \dfrac{|PN|}{|NM|} veya \dfrac{|PM|}{|NM|} olarak yanlış almak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Dış açıortayın ait olduğu üçgenin köşeleri (K ve N) esas alınarak oranın daima \dfrac{|KM|}{|NM|} şeklinde kurulması gerekir.

Benzer bir iç-dış açıortay pekiştirme sorusu çözmek ister misin?