Klllnlmlmk Konusundaki Fonksiyon Problemi Çözümü
Önemli Noktalar
- Fonksiyon birebirdir: Aynı çıktıyı veren iki farklı giriş olamaz.
- Fonksiyonun tanımlı olduğu küme A = {2,4,6,8}
- Verilen koşul: f(4) - f(2) < 0 → Bu, f(4) < f(2) demektir.
- Amaç: Şartı sağlayan kaç farklı f fonksiyonu var?
Bir fonksiyonun birebir olması için f(a) ≠ f(b) olmalıdır (a ≠ b).
Problem Detayları ve Çözümü
- Fonksiyonun tanım kümesi 4 elemanlıdır: 2, 4, 6, 8
- Görüntü kümesi ise otomatik olarak en az 4 farklı değer içermeli çünkü birebir fonksiyon.
- f(4) - f(2) < 0 ⇒ f(4) < f(2); yani f(2) sıralamada f(4)’ten büyüktür.
- Diğer elemanlar olan 6 ve 8’in fonksiyon değerlerinde bir kısıtlama yok.
Adımlar:
-
Tüm permütasyonları bulalım:
- Fonksiyon f için, A kümesinin her elemanının farklı bir gerçek değer aldığı 4! = 24 farklı birebir fonksiyon vardır.
- Ama burada 24, soyut permütasyon sayısı; görüntü kümemize herhangi 4 farklı sayı atanabilir.
-
Sadece sıralamaya bakalım:
- f(2), f(4), f(6), f(8) değerlerini küçükten büyüğe sıralarsak, 4 elemanın 4! = 24 sıralaması olur.
- Bu 24 sıralama fonksiyonların sıralama biçimini gösterir.
-
Şart: f(4) < f(2)
-
Bu, sıralamada f(4) değerinin f(2)'den önce olması gerektiği anlamına gelir.
-
4 ve 2 pozisyonlarını kıyaslayalım: toplam 24 sıralama vardır.
-
4 elemanlı bir kümede 2 elemanın (f(4) ve f(2)) hangi sırada olduğuna göre 24 sıralama ikiye eşit bölünür:
-
Yani, f(4) < f(2) durumunu sağlayan sıralama sayısı 24/2 = 12’dir.
-
Sonuç
Şartı sağlayan birebir f fonksiyonu sayısı 12’dir.
Cevap: E) 12
Özet Tablo
| Adım | Detay |
|---|---|
| Toplam birebir fonksiyon sayısı | 24 (4! = 24) |
| f(4) < f(2) koşulunu sağlayan fonksiyon sayısı | 12 |
| Doğru seçenek | E) 12 |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden sıralama üzerinden hesapladık?
Bir fonksiyonun birebir olması, görüntü değerlerinin birbirinden farklı olması demektir. Çünkü bu değerler sıralanabilir, koşullar sıralama üzerinde uygulanabilir.
2. Başka koşullar eklenirse ne yapılır?
Koşulların sıralama üzerindeki etkisi değerlendirilerek şartları sağlayan permütasyonlar sayılır.
3. Şart f(4) - f(2) < 0 yerine f(4) - f(2) > 0 olsaydı ne olurdu?
Bu durumda f(4) > f(2) olmalı ve yine birebir 24 permütasyondan yarısı yani 12 fonksiyon sağlardı.
Sonraki Adımlar:
İsterseniz birebir fonksiyonların permütasyon ve kombinasyon ile sayılması üzerine örnek çözümler hazırlayabilirim. Ya da fonksiyonlarda farklı şartlarla birebirlik ve örtüşen fonksiyon problemlerini inceleyebiliriz.
A = {2, 4, 6, 8} ve f: A → A fonksiyonu bire birdir. f(4) − f(2) < 0 şartını sağlayan kaç farklı f fonksiyonu vardır?
• Anahtar Noktalar
- A kümesinin 4 elemanı vardır, bu nedenle bire bir (injektif) f fonksiyonlarının toplamı $4! = 24$’tür.
- İki farklı eleman için görüntülerin birinin diğerinden küçük olma durumu permütasyonlarda eşit olasılıkla gerçekleşir.
- f(4) < f(2) ve f(4) > f(2) olayları toplam permütasyonları iki eşit parçaya böler.
Bu koşulu sağlayan fonksiyon sayısı 12’dir.
İçindekiler
Temel Yaklaşım
A kümesinde 4 farklı eleman bulunduğundan f: A \to A bire bir olduğunda tüm olası fonksiyon sayısı 4! = 24 permütasyondur. İki özgün eleman (burada 4 ve 2) için birinin görüntüsünün diğerinden küçük olması, tüm permütasyonlar içinde tam olarak yarısını oluşturur:
Detaylı Çözüm
- A kümesinin elemanları: 2,4,6,8.
- f bire-bir ⇒ Görüntüler arasında tekrar yok ⇒ Toplam permütasyon sayısı 4! =24.
- Permütasyonlarda herhangi iki elemanın (burada 4 ve 2) görüntüsünün sıralanması eşit olasılıklıdır.
- f(4) < f(2) durumunu sağlayan permütasyon sayısı, toplamın yarısı: 24/2=12.
Karşılaştırma Tablosu
| Koşul | Fonksiyon Sayısı |
|---|---|
| f(4) < f(2) | 12 |
| f(4) > f(2) | 12 |
Özet Tablosu
| Özellik | Değer |
|---|---|
| Küme A eleman sayısı | 4 |
| Toplam bire-bir fonksiyon sayısı | 4! = 24 |
| Aranan koşul | f(4)<f(2) |
| Sağlayan fonksiyon sayısı | 12 |
SSS
- S: “Bire bir” fonksiyon ne demektir?
C: Her farklı girdi elemanı farklı bir görüntü elemanına gönderilir (injektiflik). - S: Neden f(4) < f(2) ihtimali \tfrac12 oldu?
C: İki elemanın görüntülerinin sıralanması tüm permütasyonlarda simetrik ve eşit olasılıklıdır. - S: Başka bir iki eleman için de aynı mantık geçerli mi?
C: Evet, herhangi iki farklı eleman seçildiğinde görüntüler arasındaki sıralama yine 1/2 olasılıkla gerçekleşir.
Bu örnek üzerinden pratik yapmak ister misiniz? @anonim110