!image|375x500 [Link Silindi]
Soru: Çevresi 64 birim olan dikdörtgen biçimindeki kağıt, biri dikdörtgen diğeri kare şeklinde iki parçaya ayrılıyor. Kare şeklindeki parçanın bir kenarının uzunluğu 8^5 birim olduğuna göre, son durumdaki dikdörtgen şeklindeki parçanın bir yüzünün alanı kaç birimkaredir?
Çözüm:
1. Verilenler:
- Başlangıçta bir dikdörtgen var.
- Bu dikdörtgenin çevresi 64 birim.
- Dikdörtgen, biri kare diğeri dikdörtgen olmak üzere iki parçaya ayrılıyor.
- Kare parçanın bir kenar uzunluğu 8^5 birim.
- Kare parçanın kenar uzunluğu, dikdörtgen parçanın kısa kenarı ile aynı (çünkü kare ve dikdörtgen yan yana duruyor).
- Dikdörtgen parçanın alanını bulmamız isteniyor.
2. Çevre ve Kenar İlişkisi
Dikdörtgenin çevresi:
2 \times (uzun\ kenar + kısa\ kenar) = 64
Buradan,
uzun\ kenar + kısa\ kenar = 32
3. Kare Parçanın Kenarı
Kare parçanın bir kenarı 8^5 birim.
8 sayısını 2 tabanında yazalım:
8 = 2^3
O halde,
8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}
Yani kare parçanın kenar uzunluğu 2^{15} birim.
4. Dikdörtgen Parçanın Kısa Kenarı
Kare ve dikdörtgen yan yana olduğuna göre, dikdörtgenin kısa kenarı da 2^{15} birimdir.
5. Dikdörtgenin Uzun Kenarını Bulma
Dikdörtgenin kısa kenarı 2^{15}, uzun kenarı ise x olsun.
Çevre formülünden:
x + 2^{15} = 32
Ama burada dikkat: 32 sayısı birim uzunluk cinsinden verilmiş. Ancak 2^{15} çok büyük bir sayı, 32 ile karşılaştırılamaz.
Burada birimlerin karışıklığı var gibi görünüyor. Soruda çevre uzunluğu 64 birim olarak verilmiş, ama kare kenarı 8^5 yani çok büyük bir sayı.
Bu durumda, çevre uzunluğu 64 birim değil, 64^a gibi bir ifade olabilir veya çevre uzunluğu 64 değil, 64 birim değil de başka bir ifade olabilir.
Ancak soruda çevre uzunluğu 64 birim olarak verilmiş.
6. Sorunun Doğru Anlaşılması
Soruda geçen “Çevresinin uzunluğu 64^3 bir olan dikdörtgen” ifadesi olabilir mi? Görselde tam okunmuyor.
Ama soruda “Çevresinin uzunluğu 64^3 bir olan dikdörtgen” yazıyor gibi görünüyor.
Eğer çevre 64^3 ise:
64 = 2^6
O halde,
64^3 = (2^6)^3 = 2^{18}
Yani çevre uzunluğu 2^{18} birim.
7. Çevre Uzunluğu 2^{18} ise
Çevre formülü:
2 \times (uzun\ kenar + kısa\ kenar) = 2^{18}
Böylece,
uzun\ kenar + kısa\ kenar = 2^{17}
8. Kare Kenarı 2^{15} olduğuna göre
Kısa kenar 2^{15} ise,
uzun\ kenar = 2^{17} - 2^{15} = 2^{15}(2^2 - 1) = 2^{15} \times 3
9. Dikdörtgen Parçanın Alanı
Dikdörtgen parçanın alanı:
Alan = kısa\ kenar \times uzun\ kenar = 2^{15} \times (3 \times 2^{15}) = 3 \times 2^{30}
10. Sonuç
Seçeneklerde 3 \times 2^{30} yok. Ancak seçeneklerde sadece 2 tabanında kuvvetler var.
Bu durumda, soruda kare ve dikdörtgen parçaların toplam uzunlukları veya alanları farklı olabilir.
Alternatif Yaklaşım
Görselde kare parçanın kenar uzunluğu 8^5 olarak verilmiş.
8^5 = 2^{15}
Dikdörtgenin çevresi 64^3 = 2^{18}
Çevre formülü:
2 \times (uzun + kısa) = 2^{18} \implies uzun + kısa = 2^{17}
Kare parçanın kenarı kısa kenar olduğuna göre,
kısa = 2^{15}
Uzun kenar:
uzun = 2^{17} - 2^{15} = 2^{15}(2^2 - 1) = 3 \times 2^{15}
Alan:
Alan = kısa \times uzun = 2^{15} \times 3 \times 2^{15} = 3 \times 2^{30}
Seçeneklerde 3 yok, sadece 2^{30}, 2^{31}, 2^{32}, 2^{33} var.
Burada kare parça ve dikdörtgen parça toplam uzunlukları veya alanları farklı olabilir.
Sonuç:
Eğer soruda kare parçanın kenarı 8^5 = 2^{15} ise ve çevre 64^3 = 2^{18} ise, dikdörtgen parçanın alanı:
3 \times 2^{30}
olarak bulunur.
Özet Tablosu
| Özellik | Değer |
|---|---|
| Kare kenarı | 8^5 = 2^{15} |
| Dikdörtgen çevresi | 64^3 = 2^{18} |
| Dikdörtgen kısa kenar | 2^{15} |
| Dikdörtgen uzun kenar | 2^{17} - 2^{15} = 3 \times 2^{15} |
| Dikdörtgen alanı | 3 \times 2^{30} |
Sonuç:
Soruda verilen seçenekler arasında tam eşleşme yok. Ancak alan 3 \times 2^{30} olarak bulunur.
Eğer seçeneklerde sadece 2 tabanında kuvvetler varsa ve en yakın değer 2^{32} ise, cevap C şıkkı: 2^{32} olabilir.
Eğer sorunun tam metni veya görseli netleşirse daha kesin çözüm yapılabilir.
Soru: Çevresinin uzunluğu 64^3 birim olan dikdörtgen biçimindeki kâğıt, aşağıdaki gibi biri dikdörtgen diğeri kare şeklinde iki parçaya ayrılıyor. Kare şekilli parçanın bir kenar uzunluğu 8^5 birim olduğuna göre, son durumdaki dikdörtgen-parçanın bir yüzünün alanı kaç birimkaredir?
Çözüm Adımları
-
Orijinal dikdörtgenin boyutları
Orijinal dikdörtgenin kısa kenarını a, uzun kenarını b olarak alalım.
Çevre formülü:
2\,(a + b) \;=\; 64^3
Burada 64 = 2^6, dolayısıyla
64^3 = (2^6)^3 = 2^{18}
ve
2\,(a + b) = 2^{18} \;\Longrightarrow\; a + b = 2^{17}. -
Kare parçanın kenar uzunluğu
Kare parça, dikdörtgenin yüksekliği boyunca uzandığı için
a = 8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}. -
Orijinal dikdörtgenin genişliği $b$’nin bulunması
a + b = 2^{17} \;\Longrightarrow\; b = 2^{17} - a = 2^{17} - 2^{15}.
Bunu ifadeyle düzenlersek:
b = 2^{15}\,(2^2 - 1) = 2^{15}\cdot 3. -
Kare parça ayrıldıktan sonraki kalan dikdörtgenin genişliği
Kare parça genişliği de 2^{15} olduğuna göre,
\text{Kalan genişlik} = b - 2^{15} = (3\cdot 2^{15}) - 2^{15} = 2\cdot 2^{15} = 2^{16}. -
Kalan dikdörtgenin alanı
Yükseklik a = 2^{15}, genişlik =2^{16} olduğuna göre, alanı
A = a \times \text{(kalan genişlik)} = 2^{15}\times 2^{16} = 2^{31}.
Hesap Özet Tablosu
| Nicelik | İfade | Değer |
|---|---|---|
| Toplam çevre: 2(a+b) | 64^3 | 2^{18} |
| a+b | 2^{17} | |
| Kare parça kenarı (a) | 8^5 | 2^{15} |
| Orijinal genişlik (b) | 2^{17}-2^{15} | 3\cdot2^{15} |
| Kalan genişlik | b-2^{15} | 2^{16} |
| Kalan dikdörtgen alanı (A) | 2^{15}\times2^{16} | 2^{31} |
Doğru Cevap: B) \displaystyle 2^{31}
Başarılar dilerim! @Habibe5