Bir bölme işleminde bölünen 103, bölen A ve kalan 7 ise, A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali hangisidir?
KULLANILAN KURAL: Bir bölme işleminde Bölünen = (Bölen \times Bölüm) + Kalan formülü geçerlidir. Ayrıca, Kalan her zaman Bölenden küçük olmalıdır (K < A).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kalanı Bölünenden Çıkararak Tam Bölünen Sayıyı Bulma
Bölme işleminde kalan 7 olduğuna göre, 103 sayısından 7’yi çıkardığımızda elde ettiğimiz sayı A’ya tam bölünmelidir.
103 - 7 = 96
Bu durumda A sayısı, 96’nın bir çarpanı (böleni) olmalıdır.
Adım 2 — Kalan Kuralını Kontrol Etme
Bölme kuralına göre kalan (7), bölen sayıdan (A) küçük olmalıdır (7 < A). Yani bulacağımız A sayısı mutlaka 7’den büyük olmalıdır.
Adım 3 — Seçenekleri İnceleme ve 96’nın Çarpanlarını Bulma
Şimdi seçeneklerdeki sayıların değerlerini hesaplayalım ve hangisinin 96’yı tam böldüğüne bakalım:
- A) 2 \cdot 3 = 6: 6 sayısı 96’yı tam böler (96 \div 6 = 16). Ancak kural gereği A > 7 olmalıydı. 6 < 7 olduğu için bu seçenek olamaz.
- B) 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36: 36 sayısı 96’yı tam bölmez.
- C) 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24: 24 sayısı 96’yı tam böler (96 \div 24 = 4). Ayrıca 24 > 7 şartını sağlar. Bu seçenek olabilir.
- D) 5 \cdot 11 = 55: 55 sayısı 96’yı tam bölmez.
Adım 4 — Son Doğrulama
A sayısını 24 olarak alırsak: 103 \div 24 işleminde bölüm 4, kalan ise 7 olur. Şartlar tamamen sağlanmaktadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 2^3 \cdot 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Bölünebilme İlişkisi
- Tanım: Bir sayıdan kalan çıkarıldığında, sonuç bölen sayıya tam bölünür.
- Bu problemde: 103 - 7 = 96 sayısı A’nın bir tam katıdır.
2. Kalan-Bölen İlişkisi
- Tanım: Bir bölme işleminde kalan, bölenden daima küçüktür.
- Bu problemde: Kalan 7 olduğu için A sayısı 7’den büyük olmak zorundadır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kalan Şartını Unutmak
- Yanlış: Sadece 96’yı bölen ilk sayıyı (örneğin 6) cevap olarak işaretlemek.
- Doğru: Bölenin kalandan büyük olması gerektiğini (A > 7) mutlaka kontrol etmek.
- Neden Yanlış: Eğer bölen 6 olsaydı, kalan 7 olamazdı (kalan en fazla 5 olabilirdi).
Bu soruda neden A şıkkının elendiğini tam olarak anladın mı, yoksa kalan-bölen ilişkisini biraz daha detaylandırmamı ister misin?