Kısa kenarı 6 cm, uzun kenarı 8 cm olan n tane dikdörtgen şeklindeki levha kısa kenarları uzun kenarları uzun kenarları ile çakışacak şekilde aşağıdaki gibi uç uca getiriliyor.Buna göre son durumda bu dikdörtgenlerle oluşturulan şeklin santimetre cinsinden çevresini veren cebirsel ifadeyi bulunuz.
Problem: Cebirsel ifadeyi bulma
Alara Kara’nın sorduğu problemde, boyutları kısa kenarları 6 cm ve uzun kenarları 8 cm olan n tane dikdörtgenin çevresini hesaplamamız gerekiyor.
Dikdörtgenler, kısa kenarları ve uzun kenarları çakışacak şekilde uç uca sıralandığı için, toplam çevreyi etkileyen bir düzenleme oluşmuş. Bu düzenlemede gereksiz tekrar eden kenarlar elimine edilmeli.
Çözüm: Çevre Hesabı
Bir dikdörtgenin standart çevresi şu formül ile hesaplanır:
Çevre = 2 \cdot (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar})
Yani, tek bir dikdörtgen için çevre:
Çevre = 2 \cdot (6 + 8) = 2 \cdot 14 = 28 \, \text{cm}.
Ancak burada dikdörtgenler uç uca sıralandığı için bazı kenarlar (çakışan yönlerdeki kenarlar) çevreden çıkarılmalı.
Adım Adım Çözüm
1. Çakışan Kısımları Bulma
Dikdörtgenler uç uca eklenirken, her iki dikdörtgen arasındaki çakışan kenar uzunluğu 8 cm’dir (uzun kenar çakışıyor). Bu çakışma toplamdan çıkarılır.
2. Toplam Çevreyi Bulma Formülü
- İlk dikdörtgenin çevresi tam hesaba katılır.
- Sonraki her dikdörtgen, yalnızca çevreye kısa kenarları ekler çünkü uzun kenarlar çakışmıştır.
Bu durumda toplam çevre:
Çevre = 2 \cdot (\text{kısa kenar}) + (2 \cdot \text{uzun kenar} + (n-1) \cdot 2 \cdot \text{kısa kenar}).
3. Kısa kenar ve uzun kenar değerlerini yerine koyma
- Kısa kenar: 6 cm
- Uzun kenar: 8 cm
- Birinci dikdörtgenin çevresi tam olarak alınıyor = 28 cm.
- Sonraki her dikdörtgen 12 \, \text{cm} ekliyor.
Bu nedenle cebirsel ifadeyi sadeleştirdiğinizde:
Çevre = 28 + (n-1) \cdot 12.
Sonuç: Cebirsel İfade
Dikdörtgenlerin toplam çevresini veren cebirsel ifade:
\text{Çevre} = 28 + 12(n-1)
Bu ifadeden çevrenin santimetre cinsinden hesaplanabilir:
\text{Çevre} = 12n + 16 \, \text{cm}.
Örnek Hesaplama
Eğer n = 5 dikdörtgen kullanılırsa:
\text{Çevre} = 12 \cdot 5 + 16 = 60 + 16 = 76 \, \text{cm}.
Cevap: Santimetre cinsinden çevreyi veren cebirsel ifade:
\boxed{12n + 16}.
Umarım yardımcı olmuştur! @Alara_kara
Kısa kenarı 6 cm ve uzun kenarı 8 cm olan n tane dikdörtgen, her yeni dikdörtgenin kısa kenarı (6 cm), bir öncekinin uzun kenarına (8 cm) tam olarak denk gelecek biçimde uç uca eklenirse ortaya çıkan şeklin çevresini bulmak için şu yaklaşımı kullanabiliriz:
-
Her bir dikdörtgenin çevresi
Her dikdörtgenin çevresi
$$2 \times (6 + 8) ;=; 2 \times 14 ;=; 28 \text{ cm}.$$ -
Dikdörtgenleri Eklerken Kaybedilen İç Kenar
n tane dikdörtgeni uç uca birleştirdiğimizde, her eklemede iki dikdörtgenin 6 cm uzunluğundaki kısa kenarları üst üste gelir. Bu üst üste gelen kenar, daha önce her iki dikdörtgenin de çevresine dahilken, artık dış çevrede görünmez.
Dolayısıyla her eklemede 6 cm + 6 cm = 12 cm’lik bir uzunluk toplam çevreden eksilir.- n tane dikdörtgen olunca, arada (n−1) adet ekleme (birleşme) olur.
- Her birleşmede 12 cm çevreden düşeriz.
-
Son Şeklin Çevresinin Hesaplanması
Toplamda n dikdörtgenin tek tek çevreleri toplamı:n \times 28 \;=\; 28narada (n−1) kez 6 cm’lik kenar üst üste geldiğinden,
28n - (n - 1)\times 12elde edilir. Bu ifadeyi düzenleyelim:
28n \;-\; 12(n-1) \;=\; 28n \;-\; 12n \;+\; 12 \;=\; 16n + 12
Dolayısıyla, n dikdörtgenden oluşan son şeklin çevresi (cm cinsinden) şu cebirsel ifade ile verilir:
\boxed{16n + 12}
Table of Contents
- Problemin Tanımı
- Dikdörtgenlerin Çevresi
- Birleştirme Sonucu Oluşan İç Kenar Kaybı
- Genel Formül ve Örnek Kontroller
- Özet Tablo
- Sonuç
1. Problemin Tanımı
Kısa kenarı 6 cm, uzun kenarı 8 cm olan dikdörtgen biçimli levhalar, “kısa kenar uzun kenarın üzerine gelecek” biçimde uç uca eklenmektedir. Kaç adet dikdörtgen yerleştirilirse yerleştirilsin, bu dizilim sonunda oluşan çokgen şeklindeki yapının çevresini veren bir ifade istenmektedir.
2. Dikdörtgenlerin Çevresi
Bir dikdörtgenin çevresi, iki kısa kenar (6 cm) ve iki uzun kenarın (8 cm) toplamı olduğu için:
\text{Tek dikdörtgenin çevresi}
= 2 \times (6 + 8)
= 28 \text{ cm.}
3. Birleştirme Sonucu Oluşan İç Kenar Kaybı
n dikdörtgeni tek tek topladığımızda çevreler toplamı
$$28n$$
olur. Ancak, her yeni dikdörtgen eklendiğinde kısa kenar (6 cm) tam olarak bir öncekinin uzun kenarına (8 cm) yapıştırılır. Bu yapıştırılan kenarlar artık dış çevreye dahil olmayıp “iç kenar” haline gelir. İki dikdörtgenin tam kenar birleştirmesinde, 6 cm uzunluğundaki kenar her iki dikdörtgenin de dış çevresinden çıkar:
- Oluşan kayıp: 6 + 6 = 12 \text{ cm}.
- (n−1) birleşme olduğuna göre toplam kayıp: 12(n - 1).
4. Genel Formül ve Örnek Kontroller
Toplamda n dikdörtgenin dış çevresi şu şekilde bulunur:
\text{Çevre}(n)
= 28n \;-\; 12(n - 1).
Bu ifadeyi açalım:
28n \;-\; 12(n - 1)
= 28n \;-\; 12n + 12
= 16n + 12.
• n = 1 için:
$$16 \times 1 + 12 = 28,$$
tek dikdörtgenin çevresine (28 cm) uyar.
• n = 2 için:
$$16 \times 2 + 12 = 44,$$
iki dikdörtgen “iç kenar” kaybı ile toplam 44 cm’lik bir dış sınır oluşturur.
5. Özet Tablo
| n | Dikdörtgen Sayısı | Toplam Çevre Hesabı | Nihai Çevre |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 28×1 = 28 | 28 |
| 2 | 2 | 28×2 − 12×1 = 56 − 12 = 44 | 44 |
| 3 | 3 | 28×3 − 12×2 = 84 − 24 = 60 | 60 |
| … | n | 28n − 12(n−1) = 16n + 12 | 16n + 12 |
6. Sonuç
Kısacası, 6 cm × 8 cm boyutlarındaki n adet dikdörtgen levhadan, kısa kenarı diğerinin uzun kenarına gelecek biçimde uç uca eklenerek oluşturulan son şeklin çevresi şu cebirsel ifadeyle verilir:
16n + 12 (cm)
Kısa kenarı 6 cm, uzun kenarı 8 cm olan n tane dikdörtgenin uç uca getirildiğinde çevresi nedir?
Cevap:
Aşağıda, verilen dikdörtgen levhaların birleştirilmesiyle elde edilen şeklin çevresini bulmak için adım adım bir çözüm yer almaktadır:
1. Dikdörtgenin Temel Bilgileri
- Kısa kenar (k): 6 cm
- Uzun kenar (u): 8 cm
- Toplam dikdörtgen sayısı (n): n
Her bir dikdörtgenin boyutları 6 cm × 8 cm’dir.
2. Dikdörtgenleri Yanyana Dizme
Soruya göre, bu n adet dikdörtgen “kısa kenarları kısa kenarlarla, uzun kenarları uzun kenarlarla çakışacak şekilde” uç uca getirilmiştir. Bu durumda:
- Yatayda veya dikeyde birleştirildiğinde oluşan büyük şeklin bir boyutu (örneğin yatay genişliği) n tane 6 cm’in toplamı olan 6n cm olur.
- Diğer boyut ise dikdörtgenin uzun kenarı olan 8 cm olarak kalır.
Dolayısıyla, ortaya çıkan yeni şekil, 6n cm × 8 cm boyutlarında büyük bir dikdörtgen hâline gelir.
3. Dikdörtgenin Çevre Formülü
Bir dikdörtgenin çevresi, genel formülle hesaplanır:
\text{Çevre} = 2 \times (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar}).
Bizim büyük dikdörtgenimizde,
• Yeni “kısa kenar” = 8 cm
• Yeni “uzun kenar” = 6n cm
Dolayısıyla büyük dikdörtgenin çevresi:
\text{Çevre} = 2 \times (6n + 8).
4. Cebirsel İfade
Yukarıdaki ifadeyi çarparak sadeleştirelim:
\text{Çevre} = 2 \times (6n + 8) \\
= 12n + 16.
Böylece, n adet 6 cm × 8 cm boyutundaki dikdörtgen levha uç uca getirildiğinde oluşan büyük dikdörtgenin çevresi,
12n + 16 cm şeklinde bulunur.
5. Örnek Kontrol (n=1 için)
- n=1 olduğunda tek dikdörtgenin çevresi: 2 × (6 + 8) = 2 × 14 = 28 cm.
- Bulduğumuz formülde n yerine 1 yazarsak: 12(1) + 16 = 28 cm.
Bu örnek, formülün doğru çalıştığını göstermektedir.
Sonuç olarak, n tane 6 cm × 8 cm’lik dikdörtgeni uç uca yerleştirdiğimizde, oluşan şeklin çevresi (santimetre cinsinden):
\boxed{12n + 16}
olur.