Dairelerdeki Sayılar ve Aralarında Asallık Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki sayının aralarında asal olması, 1 dışında hiçbir ortak pozitif bölenlerinin (ortak asal çarpanlarının) bulunmaması anlamına gelir: \text{EBOB}(A, B) = 1.
- Birbirine bağlı iki şeklin ortak elemanı varsa ve çarpımları aralarında asalsa, bu ortak eleman mutlaka 1 olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Ortak Dairenin Değerini Belirleme
Şekildeki iki dörtgenin kesişiminde yer alan ortadaki daire hem A sayısının hem de B sayısının bir çarpanıdır.
A ve B sayılarının aralarında asal olabilmesi için 1’den başka ortak çarpanları olamaz. Bu nedenle ortak daireye yazılabilecek tek sayı 1’dir:
Adım 2 — A Sayısını En Küçük Yapacak Değeri Bulma
A sayısının bulunduğu dörtgenin köşelerindeki sayılar: 5, 9, 1 ve henüz belirlenmeyen sol köşedeki sayıdır.
Tüm dairelerdeki sayıların birbirinden farklı doğal sayılar olması istendiğinden, sol köşeye A’nın asal çarpan sayısını gereksiz yere artırmayacak en küçük farklı sayı yazılmalıdır.
- 1, 5 ve 9 zaten kullanılmıştır.
- Sol köşeye 2 yazılırsa, A’nın çarpanlarına 2 asal sayısı da eklenir. Bu durumda B’nin içine 2’nin katı olan hiçbir sayı (2, 4, 8 vb.) yazılamaz ve B sayısı çok büyür.
- Bu yüzden sol köşeye A’nın mevcut asal çarpanı olan 3 yazılmalıdır (3 henüz kullanılmamıştır ve 9 = 3^2 olduğundan A’ya yeni bir asal çarpan eklemez):
A sayısının asal çarpanları yalnızca 3 ve 5’tir.
Adım 3 — B Sayısını En Küçük Yapacak Değerleri Bulma
A ile B aralarında asal olduğundan, B’nin köşelerindeki sayılar kesinlikle 3 ve 5’e bölünemez (yani 3 ve 5’in katı olamazlar).
Ayrıca tüm sayılar birbirinden farklı olmalıdır. Kullanılan sayılar: \{1, 3, 5, 9\}.
B’nin kalan 3 köşesine 3 ve 5’in katı olmayan en küçük farklı doğal sayıları yerleştirelim:
- Yazılabilecek en küçük sayılar: 2, 4 ve 7’dir.
Kullanılan tüm sayılar: \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\} olup hepsi birbirinden farklıdır.
A = 135 ve B = 56 sayıları aralarında asaldır (\text{EBOB}(135, 56) = 1).
Adım 4 — Toplamı Hesaplama
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 191
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Aralarında Asal Sayılar: Ortak böleni yalnızca 1 olan sayılardır. Çarpımları aralarında asal olan iki grubun kesişim elemanı sadece 1 olabilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: A’nın sol köşesine en küçük sayı olsun diye doğrudan 2 yazmak. Bu durumda B kümesine 2’nin katı hiçbir sayı yazılamayacağı için B sayısı 7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001 gibi çok büyük bir değer alır.- Doğru Yaklaşım: Ortak çarpanları en aza indirmek için A’nın mevcut asal çarpanlarından türeyen sayıları (3 gibi) A tarafında tutarak B’ye en küçük çift sayıları bırakmaktır.
Benzer bir mantıkla hazırlanmış bir EBOB-EKOK / Aralarında Asallık pekiştirme sorusu çözmek ister misin?