b
kesrinin pay ve paydasindan ayni sayı çıkarılırsa kesrin
çarpmaya göre tersi elde ediliyor.
a ve b birbirinden farklı sayılar olduğuna göre, çıkarilar
sayı aşağıdakilerden hangidir?
A) a - b
D) 2a - b
B) b- a
E) 2b - a
C) a +
\frac{a}{b} Kesrinin Pay ve Paydasından Çıkarılan Sayıyı Bulma
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Bir \frac{a}{b} kesrinin çarpmaya göre tersi \frac{b}{a} kesridir.
- İki kare farkı özdeşliği: b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Matematiksel Denklemi Kurma
Pay ve paydadan çıkarılan sayıya x diyelim. Yeni kesir, \frac{a}{b} kesrinin çarpmaya göre tersi olan \frac{b}{a} kesrine eşit olmalıdır:
\frac{a - x}{b - x} = \frac{b}{a}
Adım 2 — İçler Dışlar Çarpımı Yapma
Eşitlikte içler dışlar çarpımı yaparak parantezleri dağıtalım:
a \cdot (a - x) = b \cdot (b - x)
a^2 - ax = b^2 - bx
Adım 3 — x Değişkenini Yalnız Bırakma
x’li terimleri eşitliğin bir tarafına, diğer terimleri karşı tarafa toplayalım:
bx - ax = b^2 - a^2
Adım 4 — Ortak Paranteze Alma ve Özdeşlik Uygulama
Sol tarafı x parantezine alalım, sağ tarafı ise iki kare farkı olarak çarpanlarına ayıralım:
x(b - a) = (b - a)(b + a)
Adım 5 — Sadeleştirme ve Sonucu Bulma
a ve b birbirinden farklı sayılar olduğu için a \neq b, yani (b - a) \neq 0’dır. Bu nedenle eşitliğin her iki tarafını (b - a) ifadesine bölebiliriz:
x = a + b
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) a + b
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çarpmaya Göre Ters
- Tanım: Bir sayının çarpımları 1 olan diğer sayıya oranıdır (\frac{a}{b} sayısının tersi \frac{b}{a}'dır).
- Bu problemde: Oluşan yeni kesir doğrudan \frac{b}{a} ifadesine eşitlendi.
2. İki Kare Farkı Özdeşliği
- Tanım: x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) şeklinde çarpanlara ayrılan temel cebirsel özdeşliktir.
- Bu problemde: b^2 - a^2 ifadesi (b - a)(b + a) şeklinde açılarak sadeleştirme yapıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Çıkarılan Sayıyı Tek Taraflı İşleme Alma
- Yanlış: Sadece paydan ya da sadece paydadan x çıkarmak (\frac{a-x}{b} = \frac{b}{a}).
- Doğru: Soruda belirtildiği üzere hem pay hem de paydadan aynı x sayısı çıkarılmalıdır (\frac{a-x}{b-x} = \frac{b}{a}).
- Neden yanlış: Kesrin her iki elemanına da aynı işlem uygulanmadığında denklem hatalı kurulur.
Benzer tipte bir rasyonel sayılar ve çarpanlara ayırma sorusu daha çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?