Aşağıdaki şekilde, kesişen 6 doğrunun oluşturduğu düzgün altıgen biçimindeki kapalı bölgenin içerisinde bir A noktası alınmıştır.
A noktasının doğrulara uzaklıkları toplamı 18 birim olduğuna göre, düzgün altıgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 18\sqrt{3}
B) 24
C) 24\sqrt{3}
D) 27\sqrt{3}
E) 36
Düzgün Altıgende Noktanın Kenarlara Uzaklıkları ve Alan Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Düzgün bir altıgende karşılıklı kenar doğruları birbirine paraleldir. Şeklin içinde alınan herhangi bir noktanın karşılıklı iki paralel doğruya olan uzaklıkları toplamı, bu iki paralel doğru arasındaki dik uzaklığa (h = a\sqrt{3}) eşittir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Paralel Doğrular Arasındaki Uzaklığı Bulma
Düzgün altıgenin 6 kenar doğrusu 3 çift paralel doğrudan oluşur. Düzgün altıgenin içinde seçilen A noktasının her bir paralel çiftin doğrularına olan dik uzaklıkları toplamı, bu iki paralel doğru arasındaki sabit h mesafesini verir:
\text{Toplam Uzaklık} = h_1 + h_2 + h_3 = 3h
3h = 18 \implies h = 6\text{ birim}
Adım 2 — Kenar Uzunluğu (a) ve Alan Hesabı
Bir kenar uzunluğu a olan düzgün altıgende, karşılıklı kenarlar arasındaki dik uzaklık h = a\sqrt{3} bağıntısıyla hesaplanır:
a\sqrt{3} = 6 \implies a = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\text{ birim}
Düzgün altıgen, 6 adet eşkenar üçgenden oluştuğundan toplam alan formülü:
\text{Alan} = 6 \cdot \left(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2
a^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12
\text{Alan} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 18\sqrt{3}\text{ birimkare}
CEVAP: A) 18\sqrt{3} (\text{Alan} = 18\sqrt{3}\text{ br}^2)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İç bölgedeki noktanın konumu nerede olursa olsun, karşılıklı paralel kenar çiftlerine olan mesafeler toplamı değişmez. Bu nedenle pratiklik kazanmak adına A noktasını ağırlık merkezinde kabul ederek her kenara eşit uzaklıkta (18 / 6 = 3\text{ birim} apotem yarıçapı) düşünebilirsiniz. Apotem r = 3 ise r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = 3 \implies a = 2\sqrt{3} sonucu doğrudan bulunur.