Kesirlerle Parantezli İşlemler Sorusu Çözümü
Verilen ifade şu şekilde:
Bu işlemi adım adım çözerek doğru sonucu bulacağız.
1. Parantezlerin İçini Düzenleme
Parantez içindeki ifadeleri toplayalım. Genel formül olarak, 1 + \frac{1}{n} ifadesi \frac{n + 1}{n} şeklinde sadeleştirilebilir.
- \left( 1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{3 + 1}{3} = \frac{4}{3}
- \left( 1 + \frac{1}{4} \right) = \frac{4 + 1}{4} = \frac{5}{4}
- \left( 1 + \frac{1}{5} \right) = \frac{5 + 1}{5} = \frac{6}{5}
- Bu şekilde devam edersek, \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ifadesi her zaman \frac{n+1}{n} olacaktır.
2. İfadenin Yeni Hali
Yeni ifadeyi düzenleyerek şu hale getiriyoruz:
Bu işlemde \div (\bölme) işlemini çarpmaya çevirip düzenleyebiliriz.
Bölme İşlemi Kurallarını Uygula:
Bir kesir başka bir kesire bölünürken sondaki kesir ters çevrilir ve çarpılır.
Yani:
Bu durumda ifadenin yeni hali:
3. Çarpma İşlemini Kolaylaştırma
Şimdi bir düzen fark ediyoruz. Çarpımlar birbirini takip eden pay ve paydalara sahip:
Çarpımsal Sadeleştirme:
Bu tür kesirli çarpımda ardışık terimlerin pay ve paydası sadeleşir:
- 4 yukarıda 5 aşağıdaki terimle sadeleşir,
- 6 yukarıda ve sonraki 6 aşağıda, ve bu bu şekilde devam eder.
En başta 4 var, en sonda ise 20 payda kalır. O zaman ifade şu hale gelir:
4. Sonuç
Şimdi sadeleştiriyoruz:
Sonuç: Doğru cevap B şıkkı: 7.
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Parantez | 1 + \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n} | \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \cdots |
| 2. Düzenleme | Bölmenin ters çarpım şeklinde yazımı | \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots |
| 3. Sadeleştirme | Pay ve payda sadeleştirme | \frac{21}{3} |
| 4. Sonuç | Kesiri sadeleştir | 7 |
