Kerem, durgun bir göle taş attığında su yüzeyinde merkezdeki O noktasından dışa doğru yayılan dairesel dalgaların O

Question Answer
1

Kerem, durgun bir göle taş attığında su yüzeyinde merkezdeki O noktasından dışa doğru yayılan dairesel dalgaların O noktasına olan uzaklıklarını incelemiş ve bazı dalgaların mesafesini santimetre cinsinden rasyonel sayı olarak aşağıdaki tabloya kaydetmiştir:
| Dalga Numara | Merkeze Uzaklık (cm) |
|1--- | 1— |
| 2. Dalga | \frac{35}{50} |
| 4. Dalga | \frac{24}{42} |
| 5. Dalga | \frac{14}{45} |
| 7. Dalga | \frac{45}{111} |
18. Buna göre ondalık gösterimi sonlu olan dalganın numarası kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 5
D) 7
19. Kerem, 7. dalganın merkeze olan uzaklık değerini ondalık gösterim olarak yazmak istemiştir.
Buna göre Kerem’in bulması gereken devirli ondalık gösterim aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0,\overline{405}
B) 2,\overline{405}
C) 0,\overline{445}
D) 2,\overline{455}

Kerem, durgun bir göle taş attığında su yüzeyinde merkezdeki O noktasından dışa doğru...
Kerem, durgun bir göle taş attığında su yüzeyinde merkezdeki O noktasından dışa doğru...1024×768 72.7 KB

2

Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi (18. ve 19. Sorular)

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  1. Sonlu Ondalık Gösterim: En sade hâle getirilmiş bir rasyonel sayının paydası asal çarpanlarına ayrıldığında yalnızca 2 ve/veya 5 çarpanı bulunuyorsa, bu rasyonel sayının ondalık gösterimi sonludur.
  2. Devirli Ondalık Gösterim: Pay, paydaya bölünerek ondalık basamaklarındaki düzenli tekrar eden periyot belirlenir.

18. Sorunun Çözümü

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Kesirleri İnceleme ve Sadeleştirme
Her bir dalganın uzaklık değerini en sade hâline getirelim ve paydalarını inceleyelim:

  • 2. Dalga: \frac{35}{50} = \frac{35 \div 5}{50 \div 5} = \frac{7}{10}
    Payda: 10 = 2 \cdot 5 (Yalnızca 2 ve 5 çarpanları vardır).
    Ondalık karşılığı: \frac{7}{10} = 0,7 (Sonlu ondalık gösterim).

  • 4. Dalga: \frac{24}{42} = \frac{24 \div 6}{42 \div 6} = \frac{4}{7}
    Payda 7 asal çarpanını içerdiği için devirlidir (sonsuz tekrar eder).

  • 5. Dalga: \frac{14}{45}
    Payda: 45 = 3^2 \cdot 5 (3 asal çarpanını içerdiği için devirlidir).

  • 7. Dalga: \frac{45}{111} = \frac{45 \div 3}{111 \div 3} = \frac{15}{37}
    Payda 37 asal çarpanını içerdiği için devirlidir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

19. Sorunun Çözümü

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — 7. Dalganın Kesir Değerini Belirleme ve Sadeleştirme
7. dalganın merkeze olan uzaklığı \frac{45}{111} cm’dir. Bu kesri 3 ile sadeleştirelim veya doğrudan paydayı 999’a genişletelim:

\frac{45}{111} = \frac{45 \times 9}{111 \times 9} = \frac{405}{999}

Adım 2 — Paydası 999 Olan Kesri Devirli Ondalığa Çevirme
Paydasında 9, 99, 999 gibi sayılar bulunan basit kesirlerde, paydaki sayı doğrudan virgülden sonra devreden kısımdır:

\frac{405}{999} = 0,\overline{405}

(Bölme işlemiyle de doğrulayabiliriz: 45 \div 111 = 0,405405... = 0,\overline{405})

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 0,\overline{405}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Sonlu Ondalık: Virgülden sonraki basamak sayısı belirli bir yerde son bulan sayılardır. Paydanın asal çarpanları sadece 2 ve 5 olmalıdır.
  • Devirli Ondalık: Virgülden sonraki belirli basamakları sonsuza kadar düzenli şekilde tekrar eden sayılardır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Kesri en sade hâline getirmeden paydaya bakıp karar vermek. (Örneğin \frac{21}{60} kesrinde paydada 3 çarpanı var gibi görünür ama sadeleştiğinde \frac{7}{20} kalır ve sonludur.)
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Payda analizinden önce kesir mutlaka en sade biçimine dönüştürülmelidir.

Benzer bir rasyonel sayının devirli açılımını birlikte yapmak ister misin?