Kerem, durgun bir göle taş attığında su yüzeyinde merkezdeki O noktasından dışa doğru yayılan dairesel dalgaların O noktasına olan uzaklıklarını incelemiş ve bazı dalgaların mesafesini santimetre cinsinden rasyonel sayı olarak aşağıdaki tabloya kaydetmiştir.
| Dalga Numarası | Merkeze Uzaklık (cm) |
|1--- | 1— |
| 2. Dalga | \frac{35}{50} |
| 4. Dalga | \frac{24}{42} |
| 5. Dalga | \frac{14}{45} |
| 7. Dalga | \frac{45}{111} |
18. Buna göre ondalık gösterimi sonlu olan dalganın numarası kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 5
D) 7
19. Kerem, 7. dalganın merkeze olan uzaklık değerini ondalık gösterim olarak yazmak istemiştir. Buna göre Kerem’in bulması gereken devirli ondalık gösterim aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0,405
B) 2, 405
C) 0, 445
D) 2, 455
20. Tabloda verilen rasyonel sayıları inceleyen Kerem, aşağıdaki çıkarımlardan hangisine ulaşabilir?
A) Paydası çift olan her kesir sonlu ondalıktır.
B) Devirli sayı olma durumu pay ve paydaya bağlıdır.
C) Basit kesirlerin ondalık gösterimleri devirlidir.
D) Paydanın asal çarpanları 3 ve 7 ise ondalık gösterim sonludur.
Rasyonel Sayıların Ondalık ve Devirli Gösterimi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Sonlu Ondalık Gösterim: En sade hâline getirilmiş bir rasyonel sayının paydasının asal çarpanları yalnızca 2 veya 5 (ya da her ikisi) ise bu kesir sonlu bir ondalık gösterime sahiptir.
- Devirli Ondalık Gösterim: En sade hâldeki kesrin paydasında 2 ve 5 dışında asal çarpanlar bulunuyorsa bu kesir devirli ondalık açılıma sahiptir. Payın paydaya bölünmesiyle veya devirli kesir tanımıyla bulunur:
Soru 18 Çözümü
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Kesirleri Sadeleştirme ve Paydalarını İnceleme
Her dalganın uzaklık değerini en sade biçimine getirip paydanın asal çarpanlarına bakalım:
- 2. Dalga: \frac{35}{50} = \frac{35 \div 5}{50 \div 5} = \frac{7}{10}
- Payda: 10 = 2 \times 5. Asal çarpanlar sadece 2 ve 5 olduğundan ondalık gösterimi sonludur (\frac{7}{10} = 0{,}7).
- 4. Dalga: \frac{24}{42} = \frac{24 \div 6}{42 \div 6} = \frac{4}{7}
- Payda: 7 (Asal çarpan 7 olduğundan devirlidir).
- 5. Dalga: \frac{14}{45}
- Kesir zaten en sade hâlindedir. Payda: 45 = 3^2 \times 5 (3 asal çarpanı içerdiğinden devirlidir).
- 7. Dalga: \frac{45}{111} = \frac{45 \div 3}{111 \div 3} = \frac{15}{37}
- Payda: 37 (Asal çarpan 37 olduğundan devirlidir).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP (18. Soru): A) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 19 Çözümü
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 7. Dalganın Değerini Devirli Kesre Dönüştürme
7. dalganın uzaklığı \frac{45}{111} cm’dir. Bu kesrin paydasını 999 yapacak şekilde 9 ile genişletelim:
Adım 2 — Devirli Ondalık Biçiminde Yazma
Paydası 999 olan üç basamaklı bir kesir, virgülden sonra üç basamağın tamamının devrettiğini gösterir:
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP (19. Soru): A) 0{,}\overline{405}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 20 Çözümü
ÇÖZÜM ADIMLARI & Seçenek Analizi:
- A Seçeneği: “Paydası çift olan her kesir sonlu ondalıktır.”
\frac{24}{42} kesrinin paydası 42 çifttir ancak sadeleştiğinde \frac{4}{7} olur ve devirlidir. Dolayısıyla yanlıştır. - B Seçeneği: “Devirli sayı olma durumu pay ve paydaya bağlıdır.”
Doğrudur; çünkü bir kesrin devirli olup olmadığını anlamak için pay ve payda arasındaki sadeleşmeye bakılmalı, paydanın sadeleşmiş son hâline göre karar verilmelidir (Örneğin 24/42 kesrinde 24 ve 42 ortak bölündüğü için paydaki değer paydanın sadeleşmesini etkiler). - C Seçeneği: “Basit kesirlerin ondalık gösterimleri devirlidir.”
\frac{35}{50} = \frac{7}{10} = 0{,}7 basit bir kesirdir ancak devirli değil, sonludur. Dolayısıyla yanlıştır. - D Seçeneği: “Paydanın asal çarpanları 3 ve 7 ise ondalık gösterim sonludur.”
Paydasında 3 veya 7 asal çarpanı bulunan en sade kesirler devirlidir, sonlu olamaz. Dolayısıyla yanlıştır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP (20. Soru): B — Devirli sayı olma durumu pay ve paydaya bağlıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Sonlu vs. Devirli Kesir: Bir kesrin türü belirlenirken mutlaka en sade hâli dikkate alınmalıdır. En sade hâlin paydası yalnızca 2 ve/veya 5 çarpanlarından oluşuyorsa sonlu, başka bir asal çarpan barındırıyorsa devirlidir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Kesri sadeleştirmeden doğrudan ilk paydadaki asal çarpanlara bakmak (örneğin \frac{24}{42} için paydada 2 var diye sonlu sanmak).- Doğru Yaklaşım: Önce pay ve paydanın en büyük ortak bölenini sadeleştirip en yalın paydanın asal çarpanlarını analiz etmek.
Devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirme konusunda benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?