Örnek 12:
OSYM
Kentlerdeki okul sayılarını artırmak için 11 kentte bir proje düzenlen-
miştir. Bu 11 kentin her birinin 12 ilçesi projeye dâhil edilmiştir. Her bir
ilçeye de her katında 7 derslik olan 2 katlı 13 okul yapılmıştır.
Buna göre, bu proje kapsamında yapılan toplam derslik sayısı
kaçtır?
A) \frac{13!}{10!}
B) \frac{14!}{9!}
C) \frac{14!}{10!}
D) \frac{15!}{9!}
E) \frac{15!}{10!}
(2021/TYT)
Toplam Derslik Sayısının Faktöriyel Olarak Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Çarpma Yoluyla Sayma Prensibi: Bağımsız basamakların çarpımı ile toplam sayı bulunur:\text{Toplam} = (\text{Kent Sayısı}) \times (\text{İlçe Sayısı}) \times (\text{Okul Sayısı}) \times (\text{Kat Sayısı}) \times (\text{Derslik Sayısı})
- Faktöriyel Gösterimi:\frac{n!}{k!} = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \dots (k + 1)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Değerlerin Çarpım Olarak Yazılması
Projede yer alan tüm kademelerdeki birim sayıları birbirine bağlı olduğundan toplam derslik sayısı bu değerlerin çarpımına eşittir:
- Kent sayısı: 11
- Her kentteki ilçe sayısı: 12
- Her ilçedeki okul sayısı: 13
- Her okulun kat sayısı: 2
- Her kattaki derslik sayısı: 7
\text{Toplam Derslik Sayısı} = 11 \times 12 \times 13 \times 2 \times 7
Adım 2 — Çarpımı Ardışık Sayılar Haline Getirme
2 ile 7’nin çarpımı 14 yapar. Bu değeri yerine yazarak çarpanları küçükten büyüğe sıralayalım:
\text{Toplam Derslik Sayısı} = 11 \times 12 \times 13 \times 14
Adım 3 — Çarpımı Faktöriyel Olarak İfade Etme
11 \times 12 \times 13 \times 14 ifadesi, 14! ifadesinin baştan geriye doğru 11’e kadar olan açılımıdır:
14! = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times \dots \times 1
10! = 10 \times 9 \times \dots \times 1
Bu iki ifade oranlandığında:
\frac{14!}{10!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10!}{10!} = 14 \times 13 \times 12 \times 11
Bu nedenle toplam derslik sayısı \dfrac{14!}{10!} olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C — \frac{14!}{10!}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Faktöriyel: 1’den n’ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımıdır (n!). Belli bir sayı aralığındaki ardışık çarpımları sade bir biçimde ifade etmek için faktöriyellerin bölümünden yararlanılır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Kat sayısı (2) ile kattaki derslik sayısını (7) toplamak (2 + 7 = 9) veya çarpanları ayrı tutup ardışık sayı elde edememek.- Doğru Yaklaşım: Her okulda 2 \times 7 = 14 derslik olduğunu fark ederek 11, 12, 13, 14 ardışık dizilimini oluşturmak.
Benzer bir faktöriyel ve sayma prensibi sorusuyla pekiştirme yapmak ister misin?
@sorumatik_ai 10 nerden çıktı
Faktöriyelli İfadelerde Paydadaki Sayının Mantığı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Belli bir aralıktaki ardışık sayıların çarpımını faktöriyel olarak yazmak için:\text{İstenmeyen Kısım} = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times k = k!\text{Tüm Çarpım} = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n = n!\frac{n!}{k!} = (k+1) \times (k+2) \times \dots \times n
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İhtiyacımız Olan Çarpımı Belirleme
Sorunun çözümünde toplam derslik sayısını şöyle bulmuştuk:
14 \times 13 \times 12 \times 11
Bu çarpımda 11’den küçük sayılar (10, 9, 8, \dots, 1) yer almamaktadır.
Adım 2 — Çarpımı 1’e Kadar Tamamlama (10’un Ortaya Çıkışı)
Bir çarpımı faktöriyel (!) olarak gösterebilmek için çarpımın mutlaka 1’den başlaması gerekir.
Elimizdeki çarpımın başına 1’den 10’a kadar olan sayıları hem paya hem paydaya ekleyelim (kesrin değerini değiştirmemek için 10! ile çarpıp 10!'e bölüyoruz):
\frac{(14 \times 13 \times 12 \times 11) \times (10 \times 9 \times 8 \times \dots \times 2 \times 1)}{(10 \times 9 \times 8 \times \dots \times 2 \times 1)}
Adım 3 — Faktöriyel Olarak Yazma
- Pay kısmı: 1’den 14’e kadar olan sayıların çarpımı olduğu için 14! olur.
- Payda kısmı: Fazladan eklediğimiz ve sadeleşmesi gereken 1’den 10’a kadar olan sayıların çarpımı olduğu için 10! olur.
14 \times 13 \times 12 \times 11 = \frac{14!}{10!}
Kısacası 10 sayısı, 11’den küçük olan ve işlemimizde bulunmaması gereken sayıları sadeleştirip yok etmek için paydada yer alır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ÖZET:
Eğer çarpım 11’de duruyorsa, 10 ve öncesi atılmış demektir; bu yüzden paydaya 10! yazılır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Bu sadeleştirme mantığı kafana tam oturdu mu, başka bir örnek üzerinden test etmek ister misin?