Kenarları 42 m , 56 m ve 70 m olan üçgen şeklindeki bir havuzdaki K noktasındaki bir fiskiye kenarlara teğet olacak

Question Answer
1

Kenarları 42 m , 56 m ve 70 m olan üçgen şeklindeki bir havuzdaki K noktasındaki bir fiskiye kenarlara teğet olacak şekilde su fışkırtıyor.
A-K-D noktalarından geçen elektrik kablosunda \frac{|AK|}{|KD|} oranı kaçtır?
A) \frac{3}{4}
B) \frac{4}{3}
C) \frac{5}{4}
D) \frac{7}{5}
E)

Kenarları 42 m , 56 m ve 70 m olan üçgen şeklindeki bir havuzdaki K noktasındaki bir...
Kenarları 42 m , 56 m ve 70 m olan üçgen şeklindeki bir havuzdaki K noktasındaki bir...1024×768 59.5 KB

2

İç Teğet Çember Merkezi ve İç Açıortay Teoremi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir üçgenin kenarlarına teğet olan dairesel bölgenin merkezi, o üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir ve iç açıortayların kesim noktasıdır. Köşeleri A, B, C ve bu köşelerin karşılarındaki kenarları a, b, c olan bir üçgende, A köşesine ait iç açıortay üzerindeki iç teğet çember merkezi K için oran bağıntısı:

\frac{|AK|}{|KD|} = \frac{b + c}{a}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Üçgenin Geometrik Özelliklerini ve K Noktasını Belirleme
Verilen havuzun kenar uzunlukları 42\text{ m}, 56\text{ m} ve 70\text{ m} olup bu değerler 3-4-5 özel dik üçgeninin 14 katıdır (14 \times 3, 14 \times 4, 14 \times 5).

  • Hipotenüs: |BC| = a = 70\text{ m}
  • Dik kenarlar: b = 56\text{ m} ve c = 42\text{ m}
  • K noktasındaki fıskiye tüm kenarlara teğet su fışkırttığı için K noktası iç teğet çemberinin merkezidir.
  • A, K, D noktaları doğrusal olduğundan [AD] doğrusu A açısına ait iç açıortay doğrusudur (D \in [BC]).

Adım 2 — İç Açıortay Oranını Hesaplama
İç açıortay teoremine göre iç teğet çember merkezinin açıortayı böldüğü oran, komşu iki kenarın toplamının karşı kenara oranına eşittir:

\frac{|AK|}{|KD|} = \frac{b + c}{a} = \frac{42 + 56}{70}

Adım 3 — Sadeleştirme
Pay ve paydayı toplayıp 14 ile sadeleştirelim:

\frac{|AK|}{|KD|} = \frac{98}{70} = \frac{98 \div 14}{70 \div 14} = \frac{7}{5}

:white_check_mark: CEVAP: D) \frac{7}{5}

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
İç teğet çember merkezinin açıortay üzerindeki bölme oranı \frac{|AK|}{|KD|} = \frac{b+c}{a} formülü ile doğrudan bulunur. Formül hatırlanmadığında, önce tabandaki D noktasının kenarları ayırma oranı (\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{c}{b}) bulunup ardından ABD veya ACD üçgeninde BK açıortayı kullanılarak aynı sonuca ulaşılabilir.