u bir
biri1° lik
32. Kenar uzunluklarının karesi başka bir üçgenin kenar
uzunlukları olan üçgenlere karesel üçgen denir.
Buna göre
50°
A) Yalnız|
A Kitapçığı
D) I ve lI
içgenlerinden hangileri karesel üçgendir?
40°
B) Yalnız Il
E) Il ve |
C) Yalnız ll
gretim
AGİLE
Soru Fotoğrafı:
Kenar Uzunluklarının Karesi Başka Bir Üçgen Oluşturan Karesel Üçgenler
[KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]
Bir üçgenin kenar uzunlukları a, b, c olsun. Bu üçgenin “karesel üçgen” olabilmesi için a^2, b^2, c^2 uzunluklarının Üçgen Eşitsizliği kuralına uyması gerekir.
Üçgen Eşitsizliği: Herhangi iki kenarın toplamı, üçüncü kenardan büyük olmalıdır (a^2 + b^2 > c^2 gibi).
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Karesel Üçgen Şartını Belirleme
Bir üçgenin kenarları arasında a \leq b \leq c sıralaması varsa, karelerinin bir üçgen oluşturması için en küçük iki karenin toplamı en büyük kareden büyük olmalıdır: a^2 + b^2 > c^2. Bu durum, orijinal üçgenin bir dar açılı üçgen olması gerektiğini gösterir (c^2 < a^2 + b^2 bağıntısı dar açılı üçgen özelliğidir).
Adım 2 — I. Üçgenin İncelenmesi (ABC Üçgeni)
- Açıları: 50^\circ, 50^\circ ve tepe açısı 180 - (50 + 50) = 80^\circ.
- Tüm açılar (50^\circ, 50^\circ, 80^\circ) 90^\circ’den küçüktür.
- Sonuç: Bu bir dar açılı üçgendir. Kenar kareleri üçgen eşitsizliğini sağlar. I. öncül doğrudur.
Adım 3 — II. Üçgenin İncelenmesi (DEF Üçgeni)
- Açıları: 90^\circ, 40^\circ ve 50^\circ.
- Bu bir dik üçgendir. Dik üçgende Pisagor teoremi gereği a^2 + b^2 = c^2 olur.
- Üçgen eşitsizliğine göre a^2 + b^2, c^2’den büyük olmalıdır. Eşitlik durumunda üçgen oluşmaz (doğrusal olur).
- Sonuç: II. öncül yanlıştır.
Adım 4 — III. Üçgenin İncelenmesi (KLN Üçgeni)
- Açıları: 40^\circ, 40^\circ ve tepe açısı 180 - (40 + 40) = 100^\circ.
- Açılardan biri (100^\circ) geniş açıdır.
- Geniş açılı üçgenlerde c^2 > a^2 + b^2 bağıntısı vardır. Bu durumda kenar kareleri üçgen eşitsizliğini sağlamaz.
- Sonuç: III. öncül yanlıştır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] A) Yalnız I
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Üçgen Eşitsizliği
- [Tanım:] Bir üçgenin çizilebilmesi için herhangi iki kenarın toplamının üçüncü kenardan büyük olması zorunluluğudur.
- [Bu problemde:] Kenarların kareleri (a^2, b^2, c^2) alındığında bu kuralın bozulmaması için orijinal üçgenin dar açılı olması gerekir.
2. Açı-Kenar İlişkisi
- [Tanım:] Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.
- [Bu problemde:] 90^\circ ve üzeri açılarda karelerin toplamı, en uzun kenarın karesini geçemez veya ona eşit kalır.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Dik Üçgeni Dahil Etmek
- [Yanlış:] “Dik üçgenin kareleri toplamı diğerine eşit, o zaman olur.”
- [Doğru:] Üçgen eşitsizliği a+b > c der; eşitlik (a+b=c) durumunda üçgen değil, bir doğru parçası oluşur.
- [Neden yanlış:] a^2 + b^2 = c^2 olduğunda bu uzunluklarla yeni bir üçgen kurulamaz.
Bu konuyla ilgili benzer bir mantık sorusu daha çözmemi ister misin?
