Kenar uzunlukları santimetre cinsinden tam sayı ve alanı 56 cm^2 olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun cm cinsinden çevre uzunluğunun alabileceği en küçük ve en büyük değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 66
B) 90
C) 96
D) 144
Alanı 56\text{ cm}^2 Olan Dikdörtgenin Çevre Uzunluğunun En Küçük ve En Büyük Değerlerinin Toplamı
KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:
- Dikdörtgenin Alanı: \text{Alan} = a \cdot b (a ve b kenar uzunlukları)
- Dikdörtgenin Çevresi: \text{Çevre} = 2 \cdot (a + b)
- Çarpımları sabit olan iki pozitif tam sayının toplamının:
- En büyük olması için sayılar birbirine en uzak seçilmelidir (1 ve 56).
- En küçük olması için sayılar birbirine en yakın seçilmelidir (7 ve 8).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 56 Sayısının Pozitif Tam Sayı Çarpanlarını Bulma
Dikdörtgenin kenar uzunlukları tam sayı olduğu için kenarlar çarpımı 56 olan tam sayı ikililerini listeleriz:
- 1 \cdot 56 = 56
- 2 \cdot 28 = 56
- 4 \cdot 14 = 56
- 7 \cdot 8 = 56
Adım 2 — Olası Çevre Uzunluklarını Hesaplama
Her çarpan çifti için çevre değerlerini hesaplayalım:
- Kenarlar 1\text{ cm} ve 56\text{ cm} için:\text{Çevre}_1 = 2 \cdot (1 + 56) = 2 \cdot 57 = 114\text{ cm}
- Kenarlar 2\text{ cm} ve 28\text{ cm} için:\text{Çevre}_2 = 2 \cdot (2 + 28) = 2 \cdot 30 = 60\text{ cm}
- Kenarlar 4\text{ cm} ve 14\text{ cm} için:\text{Çevre}_3 = 2 \cdot (4 + 14) = 2 \cdot 18 = 36\text{ cm}
- Kenarlar 7\text{ cm} ve 8\text{ cm} için:\text{Çevre}_4 = 2 \cdot (7 + 8) = 2 \cdot 15 = 30\text{ cm}
Adım 3 — En Büyük ve En Küçük Çevre Değerlerini Belirleme
- En büyük çevre: \text{Çevre}_{\text{en büyük}} = 114\text{ cm}
- En küçük çevre: \text{Çevre}_{\text{en küçük}} = 30\text{ cm}
Adım 4 — Değerlerin Toplamını Hesaplama
\text{Toplam} = 114\text{ cm} + 30\text{ cm} = 144\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı — 144\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çarpanlar ve Katlar
- Tanım: Bir doğal sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılara o sayının çarpanları (bölenleri) denir.
- Bu problemde: 56’nın çarpan ikilileri dikdörtgenin olası kenar uzunluklarını belirlemek için kullanılmıştır.
2. Çevre-Alan İlişkisi
- Tanım: Alanı sabit bir geometrik şekilde kenarlar arasındaki fark arttıkça çevre büyür, kenarlar birbirine yaklaştıkça çevre küçülür.
- Bu problemde: En büyük çevre için 1 ve 56, en küçük çevre için 7 ve 8 kenarları seçilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadece Kenarları Toplamak
- Yanlış: 1 + 56 = 57 ve 7 + 8 = 15 bularak 57 + 15 = 72 sonucuna varmak.
- Doğru: Dikdörtgenin çevresi hesaplanırken kenarlar toplamı mutlaka 2 ile çarpılmalıdır: 2 \cdot (a + b).
- Neden yanlış: Dikdörtgende ikişer adet kısa ve uzun kenar bulunur.
Bu soru tipinde alanı farklı bir sayı (örneğin 72\text{ cm}^2 veya 48\text{ cm}^2) alarak benzer bir alıştırma çözmemi ister misin?
Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Alanı 56\text{ cm}^2 Olan Dikdörtgenin Çevre Değerleri Toplamı (Kısa Çözüm)
KULLANILAN KURAL:
- \text{Alan} = a \cdot b = 56\text{ cm}^2
- \text{Çevre} = 2 \cdot (a + b)
- Çevrenin en büyük olması için kenarlar birbirine en uzak (1 ve 56), en küçük olması için birbirine en yakın (7 ve 8) seçilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — En Büyük Çevreyi Hesaplama
Kenarlar 1\text{ cm} ve 56\text{ cm} seçilir:
\text{Çevre}_{\text{en büyük}} = 2 \cdot (1 + 56) = 2 \cdot 57 = 114\text{ cm}
Adım 2 — En Küçük Çevreyi Hesaplama
Kenarlar 7\text{ cm} ve 8\text{ cm} seçilir:
\text{Çevre}_{\text{en küçük}} = 2 \cdot (7 + 8) = 2 \cdot 15 = 30\text{ cm}
Adım 3 — Değerlerin Toplamı
\text{Toplam} = 114\text{ cm} + 30\text{ cm} = 144\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı (144\text{ cm})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAM:
- Kenar Uzaklığı: Çarpımları sabit sayılarda, sayılar uzaklaştıkça toplam (ve çevre) büyür; sayılar yaklaştıkça toplam (ve çevre) küçülür.
SIK YAPILAN HATA:
- Kenarları 2 ile çarpmayı unutmak: 57 + 15 = 72 bulmak hatalıdır; çevre formülündeki 2 katsayısı mutlaka uygulanmalıdır.
Benzer mantıkta pratik yapabileceğin tek adımlı yeni bir soru ister misin?
Bana sorunun sadece cevabını yaz. uzun açıklama yazma sadece cevapları, doğru cevapları yaz.
Alanı 56\text{ cm}^2 Olan Dikdörtgenin Çevre Değerleri Toplamı
KULLANILAN FORMÜLLER:
- \text{Alan} = a \cdot b = 56\text{ cm}^2
- \text{Çevre} = 2 \cdot (a + b)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — En Büyük Çevrenin Hesaplanması
Çarpımı 56 olan birbirine en uzak çarpanlar 1 ve 56’dır:
\text{Çevre}_{\text{en büyük}} = 2 \cdot (1 + 56) = 2 \cdot 57 = 114\text{ cm}
Adım 2 — En Küçük Çevrenin Hesaplanması
Çarpımı 56 olan birbirine en yakın çarpanlar 7 ve 8’dir:
\text{Çevre}_{\text{en küçük}} = 2 \cdot (7 + 8) = 2 \cdot 15 = 30\text{ cm}
Adım 3 — Değerlerin Toplanması
\text{Toplam} = 114\text{ cm} + 30\text{ cm} = 144\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 144
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çarpanlar ve Çevre İlişkisi
- Tanım: Alanı sabit dikdörtgenlerde kenarlar birbirinden uzaklaştıkça çevre büyür, yaklaştıkça çevre küçülür.
- Bu problemde: En büyük çevre için (1, 56), en küçük çevre için (7, 8) ikilileri kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Çevre Çarpımını Unutmak
- Yanlış: Yalnızca kenarları toplayıp 57 + 15 = 72 bulmak.
- Doğru: Dikdörtgen çevresi için kenarlar toplamı 2 ile çarpılarak 114 + 30 = 144 bulunmalıdır.
- Neden yanlış: Dikdörtgende iki kısa ve iki uzun kenar yer alır.
Bu soru tipiyle ilgili aklına takılan farklı bir nokta var mı?