Kenar uzunlukları santimetre cinsinden doğal sayı olan özdeş dikdörtgen biçimindeki iki kart, kenarları boyunca çakıştırılarak aşağıdaki şekiller oluşturuluyor. Şekil 1’de bu kartların uzun kenarları, Şekil 2’de kısa kenarları, Şekil 3’te ise birinin uzun kenarı ile diğerinin kısa kenarı çakıştırılıyor.
Şekil 1’de |AB| = a cm , Şekil 2’de |DE| = b cm ve Şekil 3’te |KL| = c cm’dir.
a, b ve c’nin ikişer asal çarpanı vardır.
a 'nın asal çarpanları 2 ve 3 , b 'nin asal çarpanları 2 ve 5’tir.
Bu kartların her birinin çevre uzunluğu 100 cm 'den küçük olduğuna göre c’nin asal çarpanları aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 2 ve23
B) 2 ve13
C) 2 ve17
D) 3 ve11
Asal Çarpanlar ve Bölünebilme ile Dikdörtgen Çevre Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir tamsayı toplamında toplananlardan biri bir asal sayıya tam bölünüp diğeri bölünmüyorsa, toplam bu asal sayıya kesinlikle bölünemez (3 \mid x ve 3 \nmid y \implies 3 \nmid (x+y)). Dikdörtgenin çevresi 2(x+y) formülü ile hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kenar Uzunlukları ve Değişkenlerin Tanımlanması
Özdeş kartların kısa kenarına x, uzun kenarına y diyelim (x < y).
- Şekil 1: Kartlar uzun kenarları boyunca çakıştırıldığından taban uzunluğu iki kısa kenarın toplamıdır:|AB| = a = 2x
- Şekil 2: Kartlar kısa kenarları boyunca çakıştırıldığından taban uzunluğu iki uzun kenarın toplamıdır:|DE| = b = 2y
- Şekil 3: Biri dikey diğeri yatay yerleştirildiğinde taban uzunluğu bir kısa ve bir uzun kenarın toplamıdır:|KL| = c = x + y
Adım 2 — Asal Çarpan Özelliklerinin İncelenmesi
- a = 2x’in asal çarpanları 2 ve 3 olduğuna göre, a sayısı 3’ün katıdır. 2 ile 3 aralarında asal olduğundan x kenar uzunluğu kesinlikle 3’ün katıdır (3 \mid x).
- b = 2y’nin asal çarpanları yalnızca 2 ve 5 olduğuna göre, y’nin asal çarpanları yalnızca 2 veya 5 olabilir. Dolayısıyla y sayısı 3’ün katı olamaz (3 \nmid y).
Adım 3 — c Değerinin Bölünebilirlik Analizi
Taban uzunluğu c = x + y ifadesinde:
- x, 3’e tam bölünür.
- y, 3’e tam bölünmez.
Bir sayının 3’e bölünen bir sayı ile bölünmeyen bir sayının toplamı (x+y) 3’e kesinlikle tam bölünemez. Bu nedenle c’nin asal çarpanlarından biri hiçbir zaman 3 olamaz. Dolayısıyla c’nin asal çarpanları 3 ve 11 olamaz.
CEVAP: D) 3 ve 11
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: A, B ve C seçeneklerindeki sayıları tek tek denemek yerine bölünebilme kuralına odaklanmak soruyu saniyeler içinde çözer. 3 \mid x ve 3 \nmid y olduğu anda toplamın (c) çarpanları arasında 3’ün bulunamayacağı doğrudan görülür.