8Sa
Dört Kartondan Oluşan Dikdörtgende Mavi Kartonun Minimum Alanı
KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:
- Dikdörtgenin Alanı: \text{Alan} = a \times b (a: kısa kenar, b: uzun kenar)
- Ortak Kenar Kuralı: Yan yana veya üst üste gelen dikdörtgenlerin temas eden kenar uzunlukları eşittir.
- Tam Sayı Bölünebilirlik: Kenar uzunlukları tam sayı olduğundan, kenar uzunlukları verilen alanların pozitif tam sayı böleni olmak zorundadır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Şeklin Geometrik Düzeninin Analizi
- Şeklin sol tarafında tek parça halinde Sarı karton bulunmaktadır.
- Şeklin sağ tarafında ise alt alta dizilmiş Kırmızı, Mavi ve Beyaz olmak üzere 3 adet karton yer almaktadır.
- Sağ sütundaki tüm kartonların yatay kenar uzunluğu (genişliği) birbirine eşit olup bu uzunluğa x diyelim.
- Sol taraftaki sarı kartonun düşey kenar uzunluğu (toplam yükseklik), sağ sütundaki üç kartonun düşey kenar uzunluklarının (yüksekliklerinin) toplamına eşittir:H = h_{\text{kırmızı}} + h_{\text{mavi}} + h_{\text{beyaz}}
Adım 2 — Ortak Kenar ve Yüksekliklerin Belirlenmesi
- Kırmızı kartonun alanı: 18\text{ cm}^2 \implies h_{\text{kırmızı}} = \frac{18}{x}
- Beyaz kartonun alanı: 30\text{ cm}^2 \implies h_{\text{beyaz}} = \frac{30}{x}
- Kenar uzunlukları birer tam sayı olduğundan, x sayısı hem 18 hem de 30’un ortak bir pozitif tam sayı böleni olmalıdır.
- 18 ve 30’un pozitif ortak bölenleri:x \in \{1, 2, 3, 6\}
Adım 3 — Toplam Yükseklik (H) Sınırının Hesaplanması
- Sarı kartonun alanı 35\text{ cm}^2 olduğundan ve sarı kartonun kenar uzunlukları tam sayı olduğundan, toplam yükseklik H, 35’in bir tam sayı çarpanı olmalıdır:H \in \{1, 5, 7, 35\}
- Kırmızı ve beyaz kartonların yükseklikleri toplamı:h_{\text{kırmızı}} + h_{\text{beyaz}} = \frac{18 + 30}{x} = \frac{48}{x}
- Mavi kartonun yüksekliği h_{\text{mavi}} \ge 1 olacağından:H > \frac{48}{x}
Adım 4 — Olası x Değerleri İçin Mavi Alanın Hesaplanması
-
Durum 1 (x = 6 için):
h_{\text{kırmızı}} + h_{\text{beyaz}} = \frac{48}{6} = 8\text{ cm}H > 8 olmalıdır. 35’in 8’den büyük böleni yalnızca H = 35’tir.
h_{\text{mavi}} = 35 - 8 = 27\text{ cm}\text{Alan}_{\text{mavi}} = 6 \times 27 = 162\text{ cm}^2 -
Durum 2 (x = 3 için):
h_{\text{kırmızı}} + h_{\text{beyaz}} = \frac{48}{3} = 16\text{ cm}H > 16 olmalıdır. 35’in 16’dan büyük böleni yalnızca H = 35’tir.
h_{\text{mavi}} = 35 - 16 = 19\text{ cm}\text{Alan}_{\text{mavi}} = 3 \times 19 = 57\text{ cm}^2 -
Durum 3 (x = 2 için):
h_{\text{kırmızı}} + h_{\text{beyaz}} = \frac{48}{2} = 24\text{ cm}H > 24 olmalıdır. 35’in 24’ten büyük böleni yalnızca H = 35’tir.
h_{\text{mavi}} = 35 - 24 = 11\text{ cm}\text{Alan}_{\text{mavi}} = 2 \times 11 = 22\text{ cm}^2 -
Durum 4 (x = 1 için):
h_{\text{kırmızı}} + h_{\text{beyaz}} = \frac{48}{1} = 48\text{ cm}H > 48 olmalıdır, ancak 35’in 48’den büyük bir böleni yoktur. Bu durum geçerli değildir.
Elde edilen alan değerleri arasından en küçük olanı 22\text{ cm}^2 olarak bulunur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 22
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. EBOB ve Ortak Bölenler
- Tanım: İki veya daha fazla sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılardır.
- Bu problemde: Kırmızı (18) ve Beyaz (30) kartonların ortak genişliği olan x, bu iki sayının ortak böleni olmak zorundadır.
2. Çarpanlara Ayırma ve Geometrik Bağıntı
- Tanım: Bir alanı oluşturan kenarların çarpımının tam sayı olma durumudur.
- Bu problemde: Sarı kartonun alanı 35\text{ cm}^2 olduğundan toplam düşey uzunluk H \in \{1, 5, 7, 35\} değerlerini alabilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
x Değerini En Büyük Seçip (EBOB = 6) Alanın da En Küçük Çıkacağını Düşünmek
- Yanlış: Ortak kenar x = 6 seçildiğinde h_{\text{mavi}} = 27\text{ cm} ve alan 162\text{ cm}^2 çıkar.
- Doğru: Mavi kartonun alanı x \times (35 - \frac{48}{x}) fonksiyonuna bağlıdır; x küçüldükçe alan küçülür.
- Neden yanlış: x büyüdükçe taban genişler ve toplam yükseklik sabit (35) kaldığı için h_{\text{mavi}} büyük bir katsayı ile çarpılır.
Benzer mantıkta çarpanlara ayırma ve alan sorularıyla ilgili pratik bir soru daha çözmemi ister misin?