Kenar uzunlukları 40, 50 ve a olan dikdörtgenler prizması
biçimindeki bir kutunun içine kenar uzunluğu tam sayı ve hacmi
en büyük olan küplerden 720 tane yerleştirilebilmektedir.
Buna göre, a tam sayısının alabileceği değerler toplamı
kaçtır?
A) 45
B) 90
C) 270
D) 360
E) 405
Kenar uzunlukları 40, 50 ve a olan kutunun içine en büyük hacimli küplerin yerleştirilmesi
[KULLANILAN FORMÜL VE MANTIK:]
Bir dikdörtgenler prizmasının içine yerleştirilebilecek küp sayısı, prizmanın her bir kenarının küpün bir kenar uzunluğuna bölünmesiyle elde edilen bölümlerin çarpımıdır.
\text{Küp Sayısı} = \lfloor \frac{40}{k} \rfloor \times \lfloor \frac{50}{k} \rfloor \times \lfloor \frac{a}{k} \rfloor = 720
(Burada k, küpün tam sayı olan kenar uzunluğudur ve hacmin en büyük olması için k en büyük seçilmelidir.)
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Küpün Kenar Uzunluğunu (k) Belirleme
Soruda küplerin “en büyük hacimli” ve “kenar uzunluğunun tam sayı” olduğu belirtilmiştir. 40 ve 50 sayılarını tam bölen en büyük ortak bölen (EBOB) k = 10 olur. Eğer k=10 seçersek:
\lfloor \frac{40}{10} \rfloor = 4
\lfloor \frac{50}{10} \rfloor = 5
4 \times 5 \times \lfloor \frac{a}{10} \rfloor = 20 \times \lfloor \frac{a}{10} \rfloor
Bu sonucun 720 olması gerekir: 20 \times \lfloor \frac{a}{10} \rfloor = 720 \Rightarrow \lfloor \frac{a}{10} \rfloor = 36
Bu durumda a sayısı [360, 369] aralığında olur. Ancak, a bu aralıkta olursa EBOB(40, 50, a) yine 10 olur ve şart sağlanır.
Adım 2 — Farklı k Değerlerini Kontrol Etme
Eğer k daha küçük bir tam sayı olsaydı (örneğin k=5, 2, 1), “hacmi en büyük” şartı bozulurdu çünkü 10 sayısı her zaman daha büyük bir hacim sağlar. Bu yüzden tek ihtimal k’nın 40 ve 50’nin bir böleni olmasıdır. En büyük dediği için k=10 üzerinden devam ederiz.
Adım 3 — a Değer Aralığını Hesaplama
\lfloor \frac{a}{10} \rfloor = 36 ifadesini sağlayan a tam sayıları şunlardır:
360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369.
Toplamda 10 farklı değer vardır. Ancak a’nın alabileceği değerler toplamı şıklarda çok daha küçüktür. Bu, soruda küplerin prizmanın kenarlarını tam bölmesi gerektiği (boşluk kalmaması) varsayımını akla getirir.
Adım 4 — “En Büyük” Kavramının Yeniden Analizi
Eğer küplerin kenar uzunluğu k=5 olsaydı:
\lfloor \frac{40}{5} \rfloor \times \lfloor \frac{50}{5} \rfloor \times \lfloor \frac{a}{5} \rfloor = 8 \times 10 \times \lfloor \frac{a}{5} \rfloor = 80 \times \lfloor \frac{a}{5} \rfloor = 720
\lfloor \frac{a}{5} \rfloor = 9 \Rightarrow a değerleri: 45, 46, 47, 48, 49.
Bu durumda EBOB(40, 50, a) değerine bakmalıyız. Eğer a=45 seçilirse EBOB(40, 50, 45) = 5 olur. Eğer k=10 seçilseydi küp sayısı 720 olamazdı. Bu yüzden k=5 durumu geçerlidir.
a tam sayısının alabileceği değerler: 45, 46, 47, 48, 49 arasından EBOB(40, 50, a) = 5 şartını sağlayanları bulmalıyız.
- a=45 için EBOB(40, 50, 45) = 5. (Uygun)
- a=46, 47, 48, 49 için EBOB(40, 50, a) 5’ten küçük olur, bu durumda k=5 “en büyük” tam sayı olmazdı.
Eğer k=2 olsaydı: 20 \times 25 \times \lfloor \frac{a}{2} \rfloor = 500 \times \lfloor \frac{a}{2} \rfloor \neq 720.
Eğer k=1 olsaydı: 40 \times 50 \times a = 2000a = 720 (İmkanız).
Bu durumda tek ihtimal k=5 ve \lfloor \frac{a}{5} \rfloor = 18 olmasıdır (Çünkü 8 \times 5 = 40 ve 10 \times 5 = 50 ise 720 / 80 = 9 olur).
4 \times 10 \times 18 = 720 mi? Hayır.
k=2 için 20 \times 25 \times (a/2) = 720 tam sayı çıkmaz.
Yeniden Hesaplama:
\frac{40}{k} \cdot \frac{50}{k} \cdot \frac{a}{k} = 720 \Rightarrow \frac{2000a}{k^3} = 720 \Rightarrow \frac{200a}{k^3} = 72 \Rightarrow 200a = 72k^3 \Rightarrow 25a = 9k^3.
Buradan a = \frac{9k^3}{25} olur. a tam sayı olması için k, 5’in katı olmalıdır.
- k=5 için: a = \frac{9 \times 125}{25} = 9 \times 5 = 45.
- k=10 için: a = \frac{9 \times 1000}{25} = 9 \times 40 = 360.
Kontrol edelim:
- a=45 ise k=EBOB(40, 50, 45) = 5. Küp sayısı: \frac{40}{5} \cdot \frac{50}{5} \cdot \frac{45}{5} = 8 \cdot 10 \cdot 9 = 720. (DOĞRU)
- a=360 ise k=EBOB(40, 50, 360) = 10. Küp sayısı: \frac{40}{10} \cdot \frac{50}{10} \cdot \frac{360}{10} = 4 \cdot 5 \cdot 36 = 720. (DOĞRU)
Değerler toplamı: 45 + 360 = 405.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] E) 405
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. EBOB (En Büyük Ortak Bölen)
- [Tanım:] İki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen en büyük pozitif tam sayıdır.
- [Bu problemde:] Küplerin en büyük hacimli olması için kenar uzunluğu (k), prizmanın kenarlarının EBOB’u olmalıdır.
2. Prizma İçine Küp Yerleştirme
- [Tanım:] Hacimlerin birbirine oranı, eğer kenarlar tam bölünüyorsa adet sayısını verir.
- [Bu problemde:] 720 tane küp yerleştiği bilgisiyle eksik kenar a ve küp kenarı k arasındaki ilişki kurulmuştur.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Sadece Bir İhtimali Düşünmek
- [Yanlış:] Sadece a=45 veya sadece a=360 sonucuna ulaşıp bırakmak.
- [Doğru:] k değerinin 5 ve 10 gibi farklı ortak bölenler olabileceğini değerlendirmek.
- [Neden Yanlış:] Soruda a’nın alabileceği değerler “toplamı” sorulduğu için birden fazla durum olduğu önceden sezilmelidir.
Bu çözümle ilgili başka bir noktayı veya benzer bir EBOB-EKOK sorusunu incelememi ister misin?