Kenar uzunlukları 1 ve 2 birim olan ikizkenar yamuk biçimindeki plakalar birer köşeleri çakışacak şekilde yukarıdaki gibi yerleştirildikten sonra plakaların boşta kalan köşeleri kırmızı renkli iple sabitlenerek bir çerçeve tasarlanıyor.
İplerin, plaka kenarları ile oluşturduğu üçgenler dik üçgen olduğuna göre çerçevenin iç kısmının çevresi kaç birimdir?
A) 12
B) 15
C) 16
D) 22
E) 24
İkizkenar Yamuk ile Düzgün Çokgen Çevre Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
İkizkenar yamukta taban açıları dik indirilerek \cos\alpha = \frac{\text{fark}/2}{\text{yan kenar}} bağıntısıyla bulunur. Tam açının (360^\circ) kullanılmayan kısmı düzgün çokgenin iç açısını, n = \frac{360^\circ}{\text{Dış Açı}} formülü ise kenar sayısını verir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — İkizkenar Yamuğun Taban Açılarını Bulma
Üst tabanı 1 birim, alt tabanı 2 birim ve yan kenarları 1 birim olan ikizkenar yamuğun üst köşelerinden alt tabana dikmeler indirildiğinde tabanda her iki yanda \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2} birimlik parçalar kalır. Yan kenar hipotenüs (1 birim) olduğundan taban açısı \alpha:
\cos\alpha = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2} \implies \alpha = 60^\circ
Adım 2 — İplerle Oluşan Dik Üçgenin Açısını Belirleme
Yamukların boşta kalan köşelerini birleştiren kırmızı ipler ve yamukların 1 birimlik yan kenarları birer dik üçgen oluşturmaktadır. Yan kenar uzunlukları birbirine eşit (1 birim) olduğundan bu üçgen bir ikizkenar dik üçgendir (45^\circ - 45^\circ - 90^\circ). Dolayısıyla iki yan kenar arasındaki tepe açısı 90^\circ’dir.
Adım 3 — Çerçevenin İç Açısını ve Kenar Sayısını Hesaplama
Plakaların çakıştığı ortak köşedeki açıların toplamı tam açıyı (360^\circ) oluşturur:
- Birinci yamuğun taban açısı: 60^\circ
- İplerle oluşan dik üçgenin tepe açısı: 90^\circ
- İkinci yamuğun taban açısı: 60^\circ
Bu üç açının toplamı 60^\circ + 90^\circ + 60^\circ = 210^\circ yapar. Çerçevenin iç kısmına bakan çokgenin bir iç açısı:
\text{İç Açı} = 360^\circ - 210^\circ = 150^\circ
Düzgün çokgenin bir dış açısı 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ olduğundan çerçeveyi oluşturan plaka (kenar) sayısı:
n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12 \text{ adet}
Adım 4 — İç Kısmın Çevresini Bulma
Çerçevenin iç kısmı, yamukların 2 birimlik alt tabanlarından oluşan 12 kenarlı düzgün bir çokgendir:
\text{Çevre} = 12 \times 2 = 24 \text{ birim}
CEVAP: E) 24 (Çerçevenin iç çevresi = 24\text{ birim})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
İkizkenar dik üçgenin tepe açısının 90^\circ olduğunu görüp ortak köşedeki tam açıdan (360^\circ) iç açıyı 150^\circ olarak bulmak, çokgenin kenar sayısını doğrudan dış açı formülüyle (360^\circ / 30^\circ = 12) hızlıca elde etmenizi sağlar. İç kısımdaki kenarların 2 birim olduğuna dikkat edilmelidir.