Kenar uzunluğu 30 cm olan eşkenar üçgen şeklindeki karton, kenarlarına paralel kesikli çizgiler boyunca kesilerek eşit alanlı 3 tane yamuğa bölünüyor.
Bu yamuklar şekildeki gibi birleştirilerek bir yamuk oluşturulduğuna göre, son durumdaki yamuğun çevresi kaç cm’dir?
A) 90
B) 110
C) 70
D) 100
E) 80
Eşkenar Üçgenin Eş Alanlı İkizkenar Yamuklara Bölünmesi ve Çevre Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Eşkenar üçgenin iç açıları 60^\circ olduğundan, kenarlara paralel kesilen parçalar taban açıları 60^\circ olan ikizkenar yamuklar oluşturur. Taban açıları 60^\circ olan bir ikizkenar yamukta büyük taban x, küçük taban y ve yan kenarlar z ise z = x - y ve yamuğun alanı A = \frac{(x^2 - y^2)\sqrt{3}}{4} formülü ile hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Yamukların Boyutlarının Belirlenmesi
Kenar uzunluğu 30\text{ cm} olan eşkenar üçgen 120^\circ dönme simetrisiyle eşit alanlı 3 ikizkenar yamuğa ayrılmıştır. Üçgenin bir kenarı, bir yamuğun büyük tabanı (x) ile komşu yamuğun yan kenarının (z) birleşiminden oluşur:
x + z = 30
Taban açıları 60^\circ olan ikizkenar yamukta yan kenar bağıntısı:
z = x - y \implies x + (x - y) = 30 \implies y = 2x - 30
Adım 2 — Alan Eşitliğinden Kenar Uzunluklarının Hesaplanması
Eşkenar üçgenin toplam alanı \frac{30^2\sqrt{3}}{4} olup, her bir yamuğun alanı bu değerin \frac{1}{3}'ine eşittir:
\frac{(x^2 - y^2)\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{30^2\sqrt{3}}{4} \implies x^2 - y^2 = 300
y = 2x - 30 eşitliğini yerine yazarsak:
x^2 - (2x - 30)^2 = 300
x^2 - (4x^2 - 120x + 900) = 300
-3x^2 + 120x - 1200 = 0 \implies x^2 - 40x + 400 = 0
(x - 20)^2 = 0 \implies x = 20\text{ cm}
Buradan küçük taban ve yan kenar uzunlukları bulunur:
y = 2(20) - 30 = 10\text{ cm}
z = x - y = 20 - 10 = 10\text{ cm}
Adım 3 — Birleştirilen Yeni Yamuğun Çevresinin Bulunması
Üç yamuk, ikisi düz biri ters olacak biçimde yan kenarları boyunca birleştirildiğinde:
- Alt Taban: x + y + x = 20 + 10 + 20 = 50\text{ cm}
- Üst Taban: y + x + y = 10 + 20 + 10 = 40\text{ cm}
- Yan Kenarlar: z + z = 10 + 10 = 20\text{ cm}
\text{Çevre} = 50 + 40 + 10 + 10 = 110\text{ cm}
CEVAP: B) 110 (\text{Çevre} = 110\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Eşkenar üçgenin kenarlara paralel kesimle özdeş 3 yamuğa ayrılması durumunda, yamuğun büyük tabanı üçgenin kenarının \frac{2}{3}'si (20\text{ cm}), küçük tabanı ve yan kenarları ise \frac{1}{3}'i (10\text{ cm}) olur. Bu pratik oran TYT/AYT geometri sorularında doğrudan zaman kazandırır.
@Akademik_Rehber sadece eşkenar ücgen kullanarak yap soruyu
Bu soruyu küçük eşkenar üçgenlere bölme yöntemiyle formülsüz ve çok pratik şekilde çözebiliriz:
1. Büyük Üçgeni Eşkenar Üçgenlere Ayırma
- Taban açıları 60^\circ olan bir yamuk, yan yana dizilmiş özdeş küçük eşkenar üçgenlerden oluşur.
- 3 küçük eşkenar üçgen bir araya geldiğinde tabanları 2 birim ve 1 birim, yan kenarları 1 birim olan bir ikizkenar yamuk oluşturur.
- Yamukların her biri 3 eşkenar üçgenden oluşuyorsa, 3 yamuğun toplam alanı:3 \times 3 = 9\text{ adet küçük eşkenar üçgen}
- Bir kenarı n parçaya bölünen büyük eşkenar üçgenin içinde n^2 tane eşkenar üçgen bulunur.n^2 = 9 \implies n = 3\text{ birim}Yani büyük üçgenin bir kenarı, küçük eşkenar üçgenlerden birinin kenarının tam 3 katıdır.
2. Kenar Uzunluklarını Bulma
- Büyük eşkenar üçgenin bir kenarı 30\text{ cm} olduğuna göre:\text{Bir küçük eşkenar üçgenin kenarı} = \frac{30}{3} = 10\text{ cm}
Bu durumda her bir yamuğun kenarları:
- Alt (uzun) taban: 2 üçgen kenarı = 2 \times 10 = 20\text{ cm}
- Üst (kısa) taban: 1 üçgen kenarı = 10\text{ cm}
- Yan kenarlar: 1’er üçgen kenarı = 10\text{ cm}
3. Birleştirilen Yeni Yamuğun Çevresi
Şekildeki gibi iki yamuk düz, ortadaki ters yerleştirilerek birleştirildiğinde:
- Yeni Alt Taban: 20 + 10 + 20 = 50\text{ cm} (5 üçgen kenarı)
- Yeni Üst Taban: 10 + 20 + 10 = 40\text{ cm} (4 üçgen kenarı)
- Sol Yan Kenar: 10\text{ cm} (1 üçgen kenarı)
- Sağ Yan Kenar: 10\text{ cm} (1 üçgen kenarı)
\text{Çevre} = 50 + 40 + 10 + 10 = 110\text{ cm}
Doğru Cevap: B) 110