Soru:
Şekildeki aydınlatma direği A noktasından yere B ve C noktaları ile gergin çelik halatlar ile bağlanarak sabitlenmiştir.
ABC üçgeninde m(\angle ABC) = x^\circ, m(\angle ACB) = y^\circ,
|AB|=6 birim, |AC|=8 birim$, ve
\cos(x+y) = -\frac{1}{2}$ dir.
Buna göre, aydınlatma direğinin yere sabitlendiği B ve C noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm:
1. Verilenler ve Şekil İncelemesi
- Üçgen ABC var.
- AB = 6 birim
- AC = 8 birim
- m(\angle ABC) = x^\circ
- m(\angle ACB) = y^\circ
- \cos(x+y) = -\frac{1}{2}
- Aydınlatma direği A noktasından yere dik iniyor, yani AD \perp BC (D noktası BC üzerinde).
- Bizden istenen: BC uzunluğu.
2. Üçgenin İç Açıları
Üçgenin iç açılarının toplamı 180^\circ olduğundan:
m(\angle BAC) + m(\angle ABC) + m(\angle ACB) = 180^\circ
Yani,
m(\angle BAC) + x + y = 180^\circ
Buradan,
m(\angle BAC) = 180^\circ - (x + y)
3. \cos(x+y) Bilgisi
Verilen: \cos(x+y) = -\frac{1}{2}
Bu trigonometrik değer, standart açı değerlerinden biridir.
\cos 120^\circ = -\frac{1}{2} olduğundan,
x + y = 120^\circ
4. m(\angle BAC) Açısını Bulalım
m(\angle BAC) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ
5. Kosinüs Teoremi ile BC Uzunluğunu Bulma
Kosinüs teoremine göre:
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)
Verilenleri yerine koyarsak:
BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ
\cos 60^\circ = \frac{1}{2} olduğundan:
BC^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}
BC^2 = 100 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}
BC^2 = 100 - (6 \cdot 8)
BC^2 = 100 - 48 = 52
6. Sonuç
BC = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2 \sqrt{13}
Cevap: D) 2 \sqrt{13}
Özet Tablosu
| Bilgi | Değer |
|---|---|
| AB | 6 birim |
| AC | 8 birim |
| \cos(x+y) | -\frac{1}{2} |
| x + y | 120^\circ |
| m(\angle BAC) | 60^\circ |
| BC^2 | 52 |
| BC | 2 \sqrt{13} birim |
Sonuç olarak, B ve C noktaları arasındaki uzaklık 2 \sqrt{13} birimdir.
Üçgen ABC’de
- AB = 6,
- AC = 8,
- ∠ABC = x°,
- ∠ACB = y°,
- cos(x + y) = –½
olduğuna göre BC uzunluğunu kosinüs teoremiyle bulabiliriz.
-
Üçgenin iç açıları toplamından
∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇒ ∠A = 180° – (x + y) -
Buna göre
cos A = cos[180° – (x + y)] = –cos(x + y) = –(–½) = ½ -
Kosinüs teoremine göre
BC² = AB² + AC² – 2·AB·AC·cos A
BC² = 6² + 8² – 2·6·8·(½)
BC² = 36 + 64 – 48
BC² = 52 -
Sonuç olarak
BC = √52 = 2√13
Cevap: 2√13 (D şıkkı)