Kdsyonel saylar
7. Aşağıdaki sayn doğrusunda ardışık iki sayı arasındaki
çizgiler eş araliklı olacak şekilde çizilmiştir.
2 a 3 b
Sayı doğrusunda belirtilen a, b ve c sayıları için
a+b-C
ifadesi ile toplandığında sonucu tam sayı yapacak en
küçük pozitif kesir kaçtır?
A)
B)
D)
E)
Sayı Doğrusunda Rasyonel Sayı Değerleri ve Tam Sayıya Tamamlama
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir sayı doğrusunda ardışık iki tam sayı (n ile n+1) arası k eşit parçaya bölündüğünde, n’den itibaren m. çizgi üzerindeki noktanın değeri:
x = n + \frac{m}{k}
Bir A rasyonel sayısını bir tam sayıya tamamlayan en küçük pozitif kesir (x), A’nın kesir kısmını 1’e tamamlayan değerdir:
x = 1 - \text{Kesir Kısmı}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a, b ve c Sayılarının Değerlerini Bulma
- a sayısı: 2 ile 3 arası 4 eşit parçaya bölünmüş ve 3. parça işaretlenmiştir:a = 2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4}
- b sayısı: 3 ile 4 arası 3 eşit parçaya bölünmüş ve 1. parça işaretlenmiştir:b = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}
- c sayısı: 4 ile 5 arası 5 eşit parçaya bölünmüş ve 3. parça işaretlenmiştir:c = 4 + \frac{3}{5} = \frac{23}{5}
Adım 2 — a + b - c İfadesinin Hesaplanması
Tam kısımlar ile kesir kısımlarını ayrı ayrı toplayıp çıkaralım:
a + b - c = \left(2 + \frac{3}{4}\right) + \left(3 + \frac{1}{3}\right) - \left(4 + \frac{3}{5}\right)
a + b - c = (2 + 3 - 4) + \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{3} - \frac{3}{5}\right)
a + b - c = 1 + \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{3} - \frac{3}{5}\right)
Kesirlerin paydalarını \text{EKOK}(4, 3, 5) = 60 eşitleyelim:
- \frac{3}{4} = \frac{3 \times 15}{60} = \frac{45}{60}
- \frac{1}{3} = \frac{1 \times 20}{60} = \frac{20}{60}
- \frac{3}{5} = \frac{3 \times 12}{60} = \frac{36}{60}
Kesirli kısımların toplamı:
\frac{45 + 20 - 36}{60} = \frac{29}{60}
İfadenin toplam değeri:
a + b - c = 1 + \frac{29}{60} = \frac{89}{60}
Adım 3 — İfadeyi Tam Sayı Yapan En Küçük Pozitif Kesri Bulma
1 + \frac{29}{60} sayısına pozitif bir x kesri ekleyerek en yakın tam sayı olan 2’ye ulaşırız:
1 + \frac{29}{60} + x = 2
x = 2 - \left(1 + \frac{29}{60}\right) = 1 - \frac{29}{60} = \frac{31}{60}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) \frac{31}{60}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Sayı Doğrusunda Bölüntü Sayısı
- Tanım: İki tam sayı arasındaki aralık sayısı, çizilen çizgi sayısının bir fazlasıdır.
- Bu problemde: Örneğin 2 ile 3 arasında 3 ara çizgi vardır; bu da aralığın 4 eşit parçaya bölündüğünü gösterir.
2. Tam Sayıya Tamamlama
- Tanım: Bileşik bir kesrin bir sonraki tam sayıya olan uzaklığıdır.
- Bu problemde: İfadenin kesir kısmı \frac{29}{60} olduğundan, bir sonraki tam sayıya ulaşmak için gereken miktar 1 - \frac{29}{60} = \frac{31}{60}'tır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kesir Kısmını Doğrudan Cevap Olarak İşaretlemek
- Yanlış: a + b - c işleminden sonra kesir kısmını \frac{29}{60} bulup C şıkkını işaretlemek.
- Doğru: Soru bu ifadenin değerini değil, bununla toplandığında tam sayı yapan sayıyı sorduğu için 1’den çıkararak \frac{31}{60} bulmak gerekir.
- Neden Yanlış: \frac{29}{60} eklenirse sonuç 1 + \frac{58}{60} olur ve tam sayı yapmaz.
Rasyonel sayılarda sayı doğrusu modellemesi veya payda eşitleme ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?