Soru:
A = \cos^2 1^\circ + \cos^2 2^\circ + \cos^2 3^\circ + \cdots + \cos^2 89^\circ
B = \cot 1^\circ \cdot \cot 2^\circ \cdot \cot 3^\circ \cdots \cot 89^\circ
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, A + B toplamı kaçtır?
Çözüm:
İçindekiler
- \cos^2 \theta toplamının hesaplanması
- \cot \theta çarpımının hesaplanması
- Sonucun bulunması
- Özet tablo
1. A = \sum_{k=1}^{89} \cos^2 k^\circ toplamı
Öncelikle, \cos^2 \theta ifadesini daha kolay toplamamız için trigonometrik özdeşlik kullanabiliriz:
\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}
Buna göre,
A = \sum_{k=1}^{89} \cos^2 k^\circ = \sum_{k=1}^{89} \frac{1 + \cos 2k^\circ}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{89} 1 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{89} \cos 2k^\circ
İlk toplam:
\sum_{k=1}^{89} 1 = 89
İkinci toplam:
S = \sum_{k=1}^{89} \cos 2k^\circ
Bu tür trigonometrik toplamlar için formül:
\sum_{k=1}^n \cos kx = \frac{\sin \frac{nx}{2} \cdot \cos \frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}
Burada x = 2^\circ, n=89.
O halde,
S = \sum_{k=1}^{89} \cos 2k^\circ = \frac{\sin \left(\frac{89 \cdot 2^\circ}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{(89+1) \cdot 2^\circ}{2}\right)}{\sin 1^\circ} = \frac{\sin 89^\circ \cdot \cos 90^\circ}{\sin 1^\circ}
\cos 90^\circ = 0 olduğundan,
S = 0
Sonuç olarak,
A = \frac{1}{2} \cdot 89 + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{89}{2}
2. B = \prod_{k=1}^{89} \cot k^\circ çarpımı
\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} olduğundan,
B = \prod_{k=1}^{89} \cot k^\circ = \prod_{k=1}^{89} \frac{\cos k^\circ}{\sin k^\circ} = \frac{\prod_{k=1}^{89} \cos k^\circ}{\prod_{k=1}^{89} \sin k^\circ}
Şimdi, \prod_{k=1}^{89} \sin k^\circ ve \prod_{k=1}^{89} \cos k^\circ ifadelerine bakalım.
Önemli Not:
\sin \theta ve \cos \theta değerleri simetriktir:
- \sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta
- \cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta
Bu nedenle,
\prod_{k=1}^{89} \sin k^\circ = \prod_{k=1}^{89} \cos (90^\circ - k^\circ) = \prod_{k=1}^{89} \cos k^\circ
Yani,
\prod_{k=1}^{89} \sin k^\circ = \prod_{k=1}^{89} \cos k^\circ
Böylece,
B = \frac{\prod_{k=1}^{89} \cos k^\circ}{\prod_{k=1}^{89} \sin k^\circ} = \frac{\prod_{k=1}^{89} \cos k^\circ}{\prod_{k=1}^{89} \cos k^\circ} = 1
3. Sonuç: A + B
A + B = \frac{89}{2} + 1 = \frac{89}{2} + \frac{2}{2} = \frac{91}{2}
4. Özet Tablo
| İfade | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| A = \sum \cos^2 k^\circ | \frac{1}{2} \cdot 89 + \frac{1}{2} \cdot 0 | \frac{89}{2} |
| B = \prod \cot k^\circ | \frac{\prod \cos k^\circ}{\prod \sin k^\circ} = 1 | 1 |
| A + B | \frac{89}{2} + 1 | \frac{91}{2} |
Özet:
- \cos^2 \theta toplamı trigonometrik özdeşlik ve toplam formülü ile \frac{89}{2} olarak bulundu.
- \cot çarpımı, simetri nedeniyle 1 çıktı.
- Toplamları A + B = \frac{91}{2} oldu.
- Doğru cevap D şıkkı: \frac{91}{2}.
Soru:
Aşağıda tanımlanan
A = \cos^2 1^\circ + \cos^2 2^\circ + \cos^2 3^\circ + \cdots + \cos^2 89^\circ
B = \cot^2 1^\circ \cdot \cot^2 2^\circ \cdot \cot^2 3^\circ \cdots \cot^2 89^\circ
eşitliklerine göre A + B toplamı kaçtır?
A) 44
B) \tfrac{89}{2}
C) 45
D) \tfrac{91}{2}
E) 46
İçindekiler
- Soru Tanımı
- A İfadesinin Hesaplanması
- B İfadesinin Hesaplanması
- A + B Toplamının Bulunması
- Özet Tablo
- Özet ve Cevap
1. Soru Tanımı
Elimizde iki ifade var:
-
A ifadesi:
A = \displaystyle \sum_{k=1}^{89} \cos^2 k^\circ -
B ifadesi:
B = \displaystyle \prod_{k=1}^{89} \cot^2 k^\circ
Buna göre, A + B toplamını bulmamız isteniyor.
Çözüm aşağıdaki adımlardan geçer.
2. A İfadesinin Hesaplanması
A = \cos^2 1^\circ + \cos^2 2^\circ + \cdots + \cos^2 89^\circ
Burada trikonometrik fonksiyonların ikiz açı ilişkilerinden yararlanacağız. Biliriz ki:
- \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1
- Ayrıca \sin \theta = \cos(90^\circ - \theta) ve \cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)
Dolayısıyla, her terimi ikili olarak eşleştirebiliriz:
- \cos^2 1^\circ + \cos^2 89^\circ = \cos^2 1^\circ + \sin^2 1^\circ = 1
- \cos^2 2^\circ + \cos^2 88^\circ = \cos^2 2^\circ + \sin^2 2^\circ = 1
- …
- \cos^2 44^\circ + \cos^2 46^\circ = \cos^2 44^\circ + \sin^2 44^\circ = 1
Bu şekilde, 1°–89°, 2°–88°, … , 44°–46° terimleri 44 tane “1” toplamı verir. Geriye ortada tek kalacak açı 45°’tir:
- \cos^2 45^\circ = \bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)^2 = \tfrac12
Sonuç olarak:
A = 44 \times 1 \;+\; \tfrac12 = 44 + \tfrac12 = \tfrac{89}{2}
Böylece
A = \displaystyle \tfrac{89}{2}.
3. B İfadesinin Hesaplanması
B = \displaystyle \prod_{k=1}^{89} \cot^2 k^\circ
Burada da benzer bir çiftleme yapacağız. Hatırlayalım ki:
- \cot \theta = \tan(90^\circ - \theta)
- Dolayısıyla \cot k^\circ \cdot \cot(90^\circ - k^\circ) = \cot k^\circ \cdot \tan k^\circ = 1
Örnek:
- \cot 1^\circ \cdot \cot 89^\circ = \cot 1^\circ \cdot \tan 1^\circ = 1
- \cot 2^\circ \cdot \cot 88^\circ = 1
- …
- \cot 44^\circ \cdot \cot 46^\circ = 1
Böylece 44 çifte 1 elde ederiz. Ortada yine 45° kalır:
- \cot^2 45^\circ = 1^2 = 1
Dolayısıyla:
B = 1^{44} \times 1 = 1
B = 1.
4. A + B Toplamının Bulunması
Elde ettiğimiz sonuçları toplarsak:
- A = \tfrac{89}{2}
- B = 1 = \tfrac{2}{2}
Buna göre:
A + B = \tfrac{89}{2} + \tfrac{2}{2} = \tfrac{91}{2}
Sonuç: A + B = \tfrac{91}{2}.
Bu değer şıklar arasında D) \tfrac{91}{2} ile eşleşir.
5. Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| A ifadesi çiftlemesi | \cos^2 k^\circ + \cos^2 (90-k)^\circ = 1, 44 çift + \cos^2 45^\circ | 44 + \tfrac12 = \tfrac{89}{2} |
| B ifadesi çiftlemesi | \cot^2 k^\circ \cdot \cot^2 (90-k)^\circ = 1, 44 çift + \cot^2 45^\circ | 1 |
| A + B toplamı | \tfrac{89}{2} + 1 | \tfrac{91}{2} |
6. Özet ve Cevap
- A ifadesinde cos² terimleri 1°–89° arası ikilendirildi ve toplam 44 + ½ = 89/2 bulundu.
- B ifadesinde cot² terimleri 1°–89° arası ikilendirildi ve toplam 1 olarak hesaplandı.
- Sonuçta A + B = 89/2 + 1 = 91/2.
Doğru şık: D) \tfrac{91}{2}.