Bu sorunun çözümü:
Soruyu anlamak:
Şekilde, ABCD bir kare olarak verilmiş ve BEC üçgeni eşkenar üçgen olarak belirtilmiş. Kareye ait önemli özellikler:
- Tüm kenarlar eşit uzunluktadır.
- Tüm iç açıları 90°’dir.
Eşkenar üçgene ait önemli özellikler:
- Tüm kenarlar eşit uzunluktadır.
- Her bir iç açı 60°’dir.
Soruda istenen: AEB açısının ölçüsünü bulmak.
Çözüm Adımları:
Adım 1: Kare ve eşkenar üçgen ilişkisi
- ABCD kare olduğundan AB = BC = CD = DA = kare kenarı uzunluğu olacaktır.
- BEC eşkenar üçgen olduğundan, BE = EC = BC’dir.
Adım 2: BEC üçgeninin açıları
Eşkenar üçgenin her açısı 60° olduğundan bu üçgenin köşeleri:
- ∠BEC = 60°
- ∠EBC = 60°
- ∠CBE = 60°
Adım 3: AEB açısının analizi
AEB açısını bulmak için, açının hesaplanmasında şu iki önemli bilgiye başvurulur:
- Karede ∠BAE ve ∠EAB açıları vardır.
- Kareden gelen ∠BAE açısı 45°’dir çünkü karede köşegenler birbirini iki eşit parçaya böler ve iç açıları 90°’yi ikiye böler:
$$ \text{∠BAE} = \frac{90°}{2} = 45° $$ - AEB açısı üçgenin iç açılarını tamamlayacak şekilde oluşturur.
Adım 4: Sonuç
AEB açısı; kareden gelen ∠BAE’nin 45° ve eşkenar üçgenden gelen 60°’yi toplamasıyla bulunur:
$$ \text{∠AEB} = 45° + 30° = 75° $$
Sonuç:
AEB açısının ölçüsü 75°’dir. Yani doğru cevap A şıkkıdır.
Özet Tablo:
| Şekil | Özellik | Hesaplama |
|---|---|---|
| Kare (ABCD) | Tüm kenarları eşit, iç açıları 90° | ∠BAE = 45° |
| Eşkenar üçgen (BEC) | Kenarları eşit, her açı 60° | ∠EBC = 30° |
| Sonuç | AEB açısı toplamı | 75° |
Yukarıdaki şekilde ABCD kare, BEC eşkenar üçgendir. Buna göre, AEB açısının ölçüsü kaç derecedir?
Cevap:
İçindekiler
- Sorunun Genel Bakışı
- Temel Kabuller ve Şeklin İncelenmesi
- Adım Adım Çözüm Yöntemi (Koordinat Sistemiyle)
- Özet Tablo
- Sonuç ve Özet
1. Sorunun Genel Bakışı
Bu soruda ABCD bir karedir ve BEC üçgeni eşkenar (yani tüm kenarları eşit) olarak verilmiştir. Şekilde görüldüğü üzere, AEB açısı bizden istenmektedir. Seçenekler 75°, 30°, 45° ve 90° olarak verilmiştir. Bu tür sorularda ya klasik geometrik açılar (90°, 45°, 60° vb.) rol oynar ya da koordinat sistemini kullanarak nokta konumları üzerinden açı hesaplaması yaparız.
2. Temel Kabuller ve Şeklin İncelenmesi
- Kare ABCD’nin kenar uzunluğunu basitlik adına a kabul edelim.
- Karede köşeler şu sırayla yerleştirilsin: A sol alt, B sağ alt, C sağ üst, D sol üst (sorudaki konumuyla uyumludur).
- BEC eşkenar üçgeni olduğuna göre, BC = BE = EC. Ancak BC karedir ve değeri a kabul edilebilir. Demek ki BE ve EC kenarları da a uzunluğundadır.
- Soruya göre istenen açı: ∠AEB.
3. Adım Adım Çözüm Yöntemi (Koordinat Sistemiyle)
3.1. Kareyi ve Noktaları Tanımlama
Aşağıdaki gibi bir koordinat sistemi kuralım:
- A noktasını (0, 0)
- B noktasını (a, 0)
- C noktasını (a, a)
- D noktasını (0, a)
Böylece BC kenarı, (a, 0) ile (a, a) arasındadır ve uzunluğu a’dır (tam dikey bir kenar).
3.2. E Noktasının Koordinatlarını Bulma
E, BEC üçgenini eşkenar yapacak biçimde seçilmelidir. E noktası (x, y) olsun. Şu koşullar geçerlidir:
- BE = a
- EC = a
Dolayısıyla,
- BE = a ⇒ |BE|² = (x - a)² + (y - 0)² = a²
- EC = a ⇒ |EC|² = (x - a)² + (y - a)² = a²
Bu iki denklemin farkını aldığımızda:
(y - a)² - y² = 0 ⇒ y = a/2
yani E noktasının y-koordinatı a/2’dir. Birinci denklemde yerine koyduğumuzda:
(x - a)² + (a/2)² = a²
(x - a)² + a²/4 = a²
(x - a)² = 3a²/4
x - a = ±(√3 / 2) a
Şekilden E’nin karenin sol tarafına (yani x < a) düştüğü anlaşıldığından:
x = a - (√3 / 2) a = a(1 - √3/2)
Böylelikle,
E = ( a(1 - √3/2), a/2 ).
3.3. İstenen Açı (AEB) Hesabı
- A = (0, 0)
- B = (a, 0)
- E = (a(1 - √3/2), a/2)
Vektörlerle ifade edersek:
- EA = A - E
- EB = B - E
Daha sonra EA · EB (skaler çarpım) ve |EA|, |EB| (normlar) yardımıyla açı buluruz. Kısa sonuca göre, yapılan hesaplar sonunda ∠AEB = 75° bulunur. (Detaylı vektörel çarpımdan elde edilen sayısal değer, cos(∠AEB) ≈ 0.259 vererek açının 75° olduğunu gösterir.)
4. Özet Tablo
| Adım | Yapılan İşlem | Sonuç / Notlar |
|---|---|---|
| 1. Koordinat Sistemi Kurma | A(0,0), B(a,0), C(a,a), D(0,a) | Kare ABCD tanımlandı |
| 2. E için Koşul (BE = BC = EC = a) | (x - a)² + y² = a² ve (x - a)² + (y - a)² = a² | y = a/2, x = a(1 ± √3/2) |
| 3. Uygun x değeri Seçme | İç kısma düşen: x = a(1 - √3/2) | E = (a(1 - √3/2), a/2) |
| 4. ∠AEB’i Vektörlerle Hesaplama | cos(θ) = (EA·EB)/( | EA |
| 5. Nihai Cevap | AEB açısı = 75° |
5. Sonuç ve Özet
- ABCD kare olduğundan her kenar a’dır.
- BEC eşkenar üçgeni koşulu, BC = BE = EC = a anlamına gelir.
- E noktası koordinat hesaplarıyla ya da eşkenar üçgen geometrisiyle içeride bir noktaya düşer.
- Yapılan ayrıntılı (vektörel veya klasik geometri) analiz soncunda ∠AEB = 75° olarak bulunur.
Dolayısıyla sorunun doğru yanıtı 75°’dir.