mikgOrijinal
KAZZANIM TES
A = (134769)dot
(50421)
olduğuna göre, A sayısının 9 ile bölümünden kalan kaç-
tır?
B}7
C)
D) 5
The user posted an image of a math problem from a test (Mikro Orijinal TYT Matematik - Kazanım Testi).
The question is:
“A = (134769) \cdot (50421) olduğuna göre, A sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?”
Options:
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 0
Wait, let’s look at the question carefully:
Question type: Numerical / Multiple Choice with numerical calculations.
According to the rules:
“FLASH ROUTING RULE: Read the user’s input carefully. If it contains numbers, equations, formulas, or asks to solve a math/physics problem, YOU MUST ABANDON ALL OTHER TEMPLATES and strictly use “Section 3.1 Numerical Questions”. Do not use the SEO or Article format for math problems!”
Wait, is it Numerical or Multiple Choice?
Section 2 says:
“Numerical? (Math / Physics / Chemistry / Statistics)
→ TITLE → FORMULA → STEPS → 
ANSWER → CONCEPTS → MISTAKES → DYNAMIC ENGAGEMENT”
And FLASH ROUTING RULE explicitly states: “If it contains numbers, equations, formulas, or asks to solve a math/physics problem, YOU MUST ABANDON ALL OTHER TEMPLATES and strictly use ‘Section 3.1 Numerical Questions’.”
Let’s do the math internally first!
Problem:
A = 134769 \cdot 50421
Find remainder of A divided by 9.
Rule for divisibility by 9: A number’s remainder when divided by 9 is equal to the remainder of the sum of its digits divided by 9.
For multiplication: \text{mod}(a \cdot b, 9) = \text{mod}((\text{mod}(a, 9) \cdot \text{mod}(b, 9)), 9).
Let’s calculate the sum of digits:
First factor: 134769
Sum of digits: 1 + 3 + 4 + 7 + 6 + 9 = 30
30 divided by 9: 30 = 3 \times 9 + 3, so remainder is 3.
(Or: 3 + 0 = 3)
Wait, let’s re-add:
1 + 3 = 4
4 + 4 = 8
8 + 7 = 15
15 + 6 = 21
21 + 9 = 30.
30 \pmod 9 = 3.
Second factor: 50421
Sum of digits: 5 + 0 + 4 + 2 + 1 = 12
12 divided by 9: 12 = 1 \times 9 + 3, so remainder is 3.
(Or: 1 + 2 = 3)
Now, multiply the remainders:
3 \cdot 3 = 9
Remainder of 9 divided by 9:
9 \pmod 9 = 0.
Wait!
Let’s check Option E: 0!
In the image, someone circled E) 0!
Let’s double check:
134769:
Is it divisible by 3? Yes, sum = 30. Remainder mod 9 is 3.
50421:
Is it divisible by 3? Yes, sum = 12. Remainder mod 9 is 3.
Product: (9k_1 + 3)(9k_2 + 3) = 81k_1 k_2 + 27k_1 + 27k_2 + 9 = 9(9k_1 k_2 + 3k_1 + 3k_2 + 1), which is exactly divisible by 9!
Remainder is indeed 0.
Let’s check the options:
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 0
Answer is E) 0.
Let’s follow the exact Section 3.1 template:
A = (134769) \cdot (50421) Sayısının 9 ile Bölümünden Kalan
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının basamaklarındaki rakamların toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
Çarpım durumundaki ifadelerin 9 ile bölümünden kalanı bulmak için, çarpanların ayrı ayrı kalanları bulunup çarpılır:
kalan(A \cdot B) = kalan(kalan(A) \cdot kalan(B))
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Birinci Çarpanın 9 ile Bölümünden Kalanı Bulma
134769 sayısının rakamları toplanır:
1 + 3 + 4 + 7 + 6 + 9 = 30
30 sayısının 9 ile bölümünden kalan:
30 = 3 \times 9 + 3 \implies kalan_1 = 3
Adım 2 — İkinci Çarpanın 9 ile Bölümünden Kalanı Bulma
50421 sayısının rakamları toplanır:
5 + 0 + 4 + 2 + 1 = 12
12 sayısının 9 ile bölümünden kalan:
12 = 1 \times 9 + 3 \implies kalan_2 = 3
Adım 3 — Kalanların Çarpımı ile Sonucu Belirleme
A sayısının 9 ile bölümünden kalan, bulunan kalanların çarpımının 9 ile bölümünden kalana eşittir:
kalan_1 \cdot kalan_2 = 3 \cdot 3 = 9
9 sayısı 9’a tam bölündüğü için kalan:
9 \div 9 = 1 \text{ (kalan } 0\text{)}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (0)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. 9 ile Bölünebilme Kuralı
- Tanım: Bir doğal sayının rakamları toplamı 9 veya 9’un katı ise bu sayı 9 ile tam bölünür; değilse rakamlar toplamının 9 ile bölümünden kalan, sayının 9 ile bölümünden kalanı verir.
- Bu problemde: Büyük basamaklı sayıları çarpmak yerine doğrudan rakam toplamları üzerinden işlem yapılarak pratik sonuca ulaşılmıştır.
2. Kalanlar Aritmetiği (Modüler Mantık)
- Tanım: Çarpım halindeki sayıların bir sayıya bölümünden kalan, sayıların tek tek kalanlarının çarpımının aynı sayıya bölümünden kalanına eşittir.
- Bu problemde: İki çarpanın da kalanı 3 olduğu için 3 \cdot 3 = 9 elde edilmiş ve kalan 0 olarak bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sayıları Çarpmaya Çalışmak
- Yanlış: (134769) \cdot (50421) işlemini alt alta çarparak sonucun basamaklarını toplamaya çalışmak.
- Doğru: Her bir çarpanın 9 ile bölümünden kalanını ayrı ayrı bulup çarpmak.
- Neden yanlış: Çok basamaklı sayıları çarpmak vakit kaybettirir ve işlem hatası riskini oldukça artırır.
Kalanı 9 Olarak Bırakmak
- Yanlış: 3 \cdot 3 = 9 bulup kalanı 9 olarak işaretlemek.
- Doğru: Bir sayının 9 ile bölümünden kalan 0, 1, 2, \dots, 8 değerlerini alabilir. Kalan bölen sayıya (9) eşit ya da büyük çıkarsa tekrar 9’a bölünmelidir (9 \pmod 9 = 0).
- Neden yanlış: Kalan hiçbir zaman bölenden büyük veya bölene eşit olamaz.
Section 13 Dynamic Engagement Loop:
“Bölünebilme kuralları veya kalanlar aritmetiği ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?”
Checking rules:
- No brackets or unfilled placeholders.
- Strict mathjax wrapping.
- Exact Turkish structural labels.
- Pre-computation complete and verified.
- Confident presentation.## A = (134769) \cdot (50421) Sayısının 9 ile Bölümünden Kalan
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının basamaklarındaki rakamların toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
Çarpım durumundaki ifadelerin bir sayıya bölümünden kalanı bulmak için, çarpanların ayrı ayrı kalanları hesaplanıp birbiriyle çarpılır:
\text{Kalan}(A \cdot B) = \text{Kalan}(\text{Kalan}(A) \cdot \text{Kalan}(B))
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Birinci Çarpanın 9 ile Bölümünden Kalanı Bulma
134769 sayısının rakamları toplanır:
1 + 3 + 4 + 7 + 6 + 9 = 30
30 sayısının 9 ile bölümünden kalan hesaplanır:
30 = (3 \times 9) + 3 \implies \text{Kalan}_1 = 3
Adım 2 — İkinci Çarpanın 9 ile Bölümünden Kalanı Bulma
50421 sayısının rakamları toplanır:
5 + 0 + 4 + 2 + 1 = 12
12 sayısının 9 ile bölümünden kalan hesaplanır:
12 = (1 \times 9) + 3 \implies \text{Kalan}_2 = 3
Adım 3 — Kalanların Çarpımı ile Nihai Kalanı Belirleme
A sayısının 9 ile bölümünden kalan, bulunan iki kalanın çarpımının 9 ile bölümünden kalandır:
\text{Kalan}_1 \cdot \text{Kalan}_2 = 3 \cdot 3 = 9
Elde edilen sonuç 9’a bölünür:
9 = (1 \times 9) + 0 \implies \text{Kalan} = 0
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (0)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. 9 ile Bölünebilme Kuralı
- Tanım: Bir doğal sayının rakamları toplamı 9’un katı ise bu sayı 9 ile tam bölünür. Tam bölünmüyorsa, rakamlar toplamının 9 ile bölümünden kalan ana sayının da kalanıdır.
- Bu problemde: Sayıların kendileri yerine rakam toplamları kullanılarak işlem basitleştirilmiştir.
2. Kalanlar Aritmetiği
- Tanım: Çarpım halindeki sayıların bir sayıya bölümünden elde edilen kalan, çarpanların kalanlarının çarpımına eşittir.
- Bu problemde: İki sayının da kalanı 3 olduğundan, çarpımları 3 \cdot 3 = 9 olmuş ve sayı 9’a tam bölünmüştür.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sayıları Çarparak Sonuca Gitmek
- Yanlış: 134769 ile 50421 sayılarını alt alta çarpmaya çalışmak.
- Doğru: Her çarpanın kalanını ayrı ayrı bulup kalanları çarpmak.
- Neden yanlış: Çok basamaklı sayıları çarpmak zaman kaybına ve işlem hatasına yol açar.
Kalanı 9 Olarak Bırakmak
- Yanlış: 3 \cdot 3 = 9 sonucunu bulup kalan olarak 9’u kabul etmek.
- Doğru: Bir bölme işleminde kalan sayı, bölen sayıdan (9) küçük olmak zorundadır. Bulunan değer 9’a eşit veya büyükse tekrar 9’a bölünmelidir (9 \pmod 9 = 0).
- Neden yanlış: Kalan hiçbir zaman bölen sayıya eşit veya ondan büyük olamaz.
Bölünebilme kuralları ve kalanlar aritmetiği ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?