Kav nirim kare olduğunu bulunuz
Answer:
Bu soruda, verilen şekillerin her adımda nasıl oluşturulduğu ve boyalı alanın kaç birim kare olduğunu bulmamız isteniyor. Sorunun temelinde, bir karenin kenar uzunluğunun kaç birim olduğunu ve boyalı alanın toplam kaç birim kare olduğunu hesaplamak var.
Table of Contents
1. Sorunun Anlaşılması
- İlk adımda, bir kare tek parça olarak verilmiş.
- İkinci adımda, bu kare 4 eşit parçaya bölünmüş ve bir parça boyanmış.
- Üçüncü adımda, her bir küçük kare tekrar 4 eşit parçaya bölünmüş ve yine bir parça boyanmış.
- Soruda, 3. adımda boyalı alanın 13 birim kare olduğu belirtilmiş.
- İlk adımda verilen karenin kenar uzunluğunu bulmamız isteniyor.
2. Adım Adım İnceleme
1. Adım:
- Kare, kenar uzunluğu x birim olan bir kare.
- Alanı: x^2 birim kare.
2. Adım:
- Kare 4 eşit kareye bölünüyor (2’şer adımda bölünme).
- Her küçük karenin kenar uzunluğu: \frac{x}{2}.
- Her küçük karenin alanı: \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{4}.
- Bu 4 küçük karenin biri boyanmış.
- Boyanan alan: \frac{x^2}{4}.
3. Adım:
- Her küçük kare tekrar 4 eşit parçaya bölünüyor.
- Toplam küçük kare sayısı: 4 \times 4 = 16.
- Her küçük parçanın kenar uzunluğu: \frac{x}{4}.
- Her küçük parçanın alanı: \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}.
- Boyanan alan, 3. adımda 13 küçük parçadan oluşuyor.
- Boyanan alan: 13 \times \frac{x^2}{16} = \frac{13x^2}{16}.
3. Matematiksel Çözüm
Soruda 3. adımda boyalı alanın 13 birim kare olduğu verilmiş. Yani:
\frac{13x^2}{16} = 13
Buradan x^2'yi bulalım:
\frac{13x^2}{16} = 13 \implies 13x^2 = 13 \times 16 \implies x^2 = 16
Kare kenar uzunluğunu bulmak için:
x = \sqrt{16} = 4
4. Sonuç ve Özet
- İlk adımda verilen karenin kenar uzunluğu 4 birimdir.
- Bu durumda, ilk karenin alanı 4^2 = 16 birim karedir.
-
- adımda boyalı alan 13 birim kare olarak verilmiştir ve bu bilgi kullanılarak kenar uzunluğu hesaplanmıştır.
Özet Tablosu
| Adım | Parçaların Sayısı | Her Parçanın Alanı | Boyanan Parça Sayısı | Boyanan Alan (birim kare) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | x^2 | 1 | x^2 |
| 2 | 4 | \frac{x^2}{4} | 1 | \frac{x^2}{4} |
| 3 | 16 | \frac{x^2}{16} | 13 | \frac{13x^2}{16} |
Sonuç: İlk karenin kenar uzunluğu 4 birimdir.
Soru: 3. adımda boyalı alanın kaç birim kare olduğunu bulunuz?
İçindekiler
-
- Örüntünün Aşamalarının İncelenmesi
- Geometrik Dizi Yaklaşımı
- Adım Adım Hesaplama
- Sonuç Tablosu
- Özet ve Cevap
1. Soru Özeti
Verilen örüntüde:
- Başlangıçta bir karenin kenar uzunluğu 2 birim.
- 1. adımda bu kare bütünüyle boyanıyor.
- 2. adımda kare dört eş parçaya bölünüp, bu parçalardan bir tanesi boyanıyor.
- 3. adımda az önce boyalı kalan parçanın yine 4 eş parçaya bölünüp, bunlardan bir tanesi boyanıyor.
Buna göre, 3. adımda boyalı alanın kaç birim kare olduğunu bulunuz.
2. Örüntünün Aşamalarının İncelenmesi
Örüntünün ilk üç adımı şu şekilde açıklanabilir:
-
1. Adım
-
Kare kenar uzunluğu 2 birim olduğu için
$
A_1 = 2^2 = 4
$ birim² alana sahip ve tamamı boyalıdır. -
2. Adım
-
Önceki adımda boyalı kalan tüm kare, 4 eş küçük kareye bölünüyor.
-
Bu 4 küçük karenin her birinin alanı
$
\frac{A_1}{4} = \frac{4}{4} = 1
$
birim² olur. -
Bu 4’lüden sadece biri seçilip boyanıyor, diğerleri beyaz kalıyor.
-
Dolayısıyla 2. adımda boyalı alan
$
A_2 = 1
$ birim²’dir. -
3. Adım
-
- adımda boyalı kalan o küçük kare tekrar 4 eş parçaya bölünüyor.
-
Her birinin alanı
$
\frac{A_2}{4} = \frac{1}{4}
$
birim² olur. -
Bu 4’lüden sadece biri seçilip boyanıyor.
-
Dolayısıyla 3. adımda boyalı alan
$
A_3 = \frac{1}{4}
$ birim²’dir.
3. Geometrik Dizi Yaklaşımı
Bu örüntü, alanın her adımda sabit oranla (her seferinde “4’e bölüp 1’ini seçme”) küçüldüğü bir geometrik dizi oluşturur. Genel formülü:
- İlk terim (1. adım):
$
A_1 = s^2 = 2^2 = 4
$ - Ortak oran (her adımda parçanın 1/4’ü seçiliyor):
$
r = \frac{1}{4}
$ - Genel terim formülü:
$
A_n = A_1 \cdot r^{,n-1}
= 4 \cdot \Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)^{,n-1}
$
Dolayısıyla n=3 için:
$
A_3 = 4 \cdot \Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)^{2}
= 4 \cdot \tfrac{1}{16}
= \tfrac{4}{16}
= \tfrac{1}{4}
$
4. Adım Adım Hesaplama
- 1. adım
- Kenar 2, alan A_1 = 2^2 = 4 birim² (tamamen boyalı).
- 2. adım
- Önceki boyalı alanı 4 birim², dört eş kare \Rightarrow her biri 4/4 = 1 birim².
- Boyalı alan A_2 = 1 birim².
- 3. adım
- A_2 = 1 birim²’lik kare dört eş parçaya bölünüyor.
- Her bir parça 1/4 birim².
- Boyalı alan A_3 = 1/4 birim².
5. Sonuç Tablosu
| Adım No | Boyalı Alan Formülü | Hesap | Sonuç (birim²) |
|---|---|---|---|
| 1 | A_1 = 2^2 | =4 | 4 |
| 2 | A_2 = A_1 \times \tfrac{1}{4} | =4 \times \tfrac{1}{4} = 1 | 1 |
| 3 | A_3 = A_2 \times \tfrac{1}{4} | =1 \times \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{4} | 0,25 |
6. Özet ve Cevap
- Örüntüde her adımda önceki boyalı alan 4 eş parçaya bölünüyor, bunlardan bir tanesi seçilip boyanıyor.
- Bu, alanı \tfrac14 oranında küçülten bir geometrik dizi demektir.
- İlk adımda 4 birim², ikinci adımda 1 birim², üçüncü adımda ise \tfrac14 birim² boyalı alan elde edilir.
Cevap: 3. adımda boyalı alan \displaystyle \tfrac{1}{4} birim karedir.
Soru: 1. adımda kare kenarı 2^{11} birim ise 13. adımda boyalı alan kaç birim karedir?
Cevap Özeti:
Bu örüntüde her adımda, önceki adımda boyalı kalan kare dört eş parçaya bölünüyor ve bu parçalardan sadece biri tekrar boyanıyor. Dolayısıyla n-inci adımda boyalı alan, bir önceki adımın boyalı alanının $\tfrac14$’ü kadardır.
Genel formülle:
A_n \;=\; s^2 \,\times\!\Bigl(\tfrac14\Bigr)^{\,n-1}
Burada s 1. adım kare kenarıdır.
- adım için s=2^{11} ve n=13 yerine yazıldığında:
A_{13} =\;(2^{11})^2\;\times\Bigl(\tfrac14\Bigr)^{12} =\;2^{22}\;\times\;2^{-24} =\;2^{-2} =\;\tfrac14
Yani 13. adımda boyalı alan \,\tfrac14\, birim karedir.
Table of Contents
- Örüntünün Tanımı
- Adım Adım İnceleme
- Genel Formül Çıkarımı
- 13. Adımda Hesaplama
- Sonuç Tablosu
- Kısa Özet
1. Örüntünün Tanımı
- 1. adımda elinizde kenar uzunluğu s birim olan bir kare var ve tamamı boyalı.
- Her takip eden adımda:
- Bir önceki adımda boyalı kalan kare, 4 eş parçaya bölünür.
- Bunlardan sadece biri seçilip boyanır.
- Geriye kalan 3 parça beyaz kalır.
Bu sayede boyalı alan her adımda bir öncekinin $\tfrac14$’üne düşer.
2. Adım Adım İnceleme
| Adım No | Açıklama | Boyalı Alan Formülü |
|---|---|---|
| 1 | Kenar uzunluğu s, tüm kare boyalı. | A_1 = s^2 |
| 2 | A_1 dört eş parçaya bölünüp bir parça boyanır. | A_2 = A_1 \times \tfrac14 |
| 3 | A_2 dört eşe bölünüp bir parça boyanır. | A_3 = A_2 \times \tfrac14 |
| … | … | … |
| n | Önceki A_{n-1} alanı dört eşe bölünüp bir parça boyanır. | A_n = A_{n-1} \times \tfrac14 |
3. Genel Formül Çıkarımı
Yukarıdaki adım-indirme işlemini genel olarak yazarsak:
- A_1 = s^2
- A_2 = s^2\,\times\!\bigl(\tfrac14\bigr)
- A_3 = s^2\,\times\!\bigl(\tfrac14\bigr)^2
…
n-inci adım için
A_n \;=\; s^2 \;\times\;\Bigl(\tfrac14\Bigr)^{\,n-1}
4. 13. Adımda Hesaplama
-
- adımda s = 2^{11} birim olsun.
- Formüle yerine yazalım (burada n=13):
$
A_{13}
;=;
(2^{11})^2 ;\times;\Bigl(\tfrac14\Bigr)^{12}
2^{22};\times;2^{-24}
2^{,22-24}
2^{-2}
\tfrac14
$
Sonuç: A_{13} = \tfrac14 birim².
5. Sonuç Tablosu
| Adım No | Kenar Uzunluğu (s) | Boyalı Alan Formülü | Sayısal Değer |
|---|---|---|---|
| 1 | 2^{11} | A_1 = (2^{11})^2 | 2^{22} |
| 2 | — | A_2 = 2^{22}\times\tfrac14 = 2^{20} | 2^{20} |
| 3 | — | A_3 = 2^{22}\times(\tfrac14)^2=2^{18} | 2^{18} |
| … | — | … | … |
| 13 | — | A_{13} = 2^{22}\times(\tfrac14)^{12} | \tfrac14 |
Not: 2^{22}\times(\tfrac14)^{12}=2^{22}\times2^{-24}=2^{-2}=\tfrac14
6. Kısa Özet
- Her adım boyalı alanı \tfrac14 oranında küçültüyor.
- Genel formül: A_n = s^2\,(\tfrac14)^{n-1}.
-
- adımda s=2^{11}, 13. adımda
A_{13} = (2^{11})^2 \times (\tfrac14)^{12} = \tfrac14.
- adımda s=2^{11}, 13. adımda
Cevap: 13. adımda boyalı alan \tfrac14 birim karedir.
12. Oluşturulacak bir örüntünün ilk üç adımı verilmiştir. Bu örüntüde 1. adımda verilen karenin bir kenar uzunluğu 2^{11} birim olduğuna göre, 13. adımda boyalı alanın kaç birim kare olduğunu bulunuz.
Answer:
Bu problemde, başlangıçta kenar uzunluğu 2^{11} birim olan bir kare var. Her adımda, mevcut boyalı alan dört eş parçaya bölünüyor ve bu parçaların sadece biri boyanıyor. Bu işlem her adımda tekrarlanıyor. Bizden 13. adımda boyalı alanın kaç birim kare olduğunu bulmamız isteniyor.
Table of Contents
1. Problemin Anlaşılması
- Başlangıçta kenar uzunluğu 2^{11} birim olan bir kare var.
- Karenin alanı:
$
A_1 = (2^{11})^2 = 2^{22}
$ - Her adımda boyalı alan, dört eş parçaya bölünüyor ve sadece bir parça boyanıyor.
- Bu nedenle, her adımda boyalı alan, bir önceki adımın dörtte biri kadar oluyor.
- Bu işlem 13. adıma kadar devam ediyor.
2. Örüntünün Matematiksel İfadesi
Boyalı alanlar bir geometrik dizi oluşturur:
- İlk terim:
$
A_1 = 2^{22}
$ - Ortak oran:
$
r = \frac{1}{4}
$ - Genel terim formülü:
$
A_n = A_1 \times r^{n-1} = 2^{22} \times \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}
$
3. 13. Adımda Boyalı Alanın Hesaplanması
- adım için n=13:
$
\begin{aligned}
A_{13} &= 2^{22} \times \left(\frac{1}{4}\right)^{12} \
&= 2^{22} \times \left(4^{-12}\right) \
&= 2^{22} \times \left(2^{2}\right)^{-12} \quad \text{(çünkü } 4 = 2^2) \
&= 2^{22} \times 2^{-24} \
&= 2^{22 - 24} \
&= 2^{-2} \
&= \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}
\end{aligned}
$
4. Sonuç ve Özet
- Başlangıçta çok büyük bir kare var: kenar uzunluğu 2^{11} birim, alanı 2^{22} birim kare.
- Her adımda boyalı alan dörtte bire düşüyor.
-
- adımda boyalı alan,
$
\boxed{\frac{1}{4}} \text{ birim kare}
$
- adımda boyalı alan,
- Bu sonuç, başlangıçtaki büyük alanın küçülmesiyle oluşan boyalı alanın çok küçük olduğunu gösterir.
Özet Tablosu
| Adım No | Boyalı Alan Formülü | Hesaplama | Sonuç (birim kare) |
|---|---|---|---|
| 1 | A_1 = (2^{11})^2 = 2^{22} | 2^{22} | 4,194,304 |
| 2 | A_2 = A_1 \times \frac{1}{4} = 2^{22} \times 4^{-1} | 2^{22} \times 2^{-2} = 2^{20} | 1,048,576 |
| … | … | … | … |
| 13 | A_{13} = 2^{22} \times \left(\frac{1}{4}\right)^{12} | 2^{-2} = \frac{1}{4} | 0.25 |
Sonuç: 13. adımda boyalı alan \frac{1}{4} birim karedir.
- Sinde 2 üzeri 22 ise 13 le carpman gerekmiyormuydu
Eia_Akbaba’nın sorusu: 1. adımda 2^{22} ise 13 ile çarpmam gerekmiyor muydu?
Cevap:
Hayır, bu örüntüde 1. adımda alan 2^{22} birim karedir ve sonraki adımlarda boyalı alan her seferinde 4’e bölünüyor, yani bir önceki alanın 1/4’ü kadar oluyor. Burada 13 ile çarpma işlemi yapılmaz çünkü:
-
Soruda her adımda boyalı alanın 4 eş parçaya bölünüp sadece birinin boyandığı belirtiliyor.
-
Bu yüzden boyalı alan, bir geometrik dizi oluşturur ve genel terim formülü:
A_n = A_1 \times \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}
-
- adımda boyalı alan:
A_{13} = 2^{22} \times \left(\frac{1}{4}\right)^{12}
-
Burada 13 ile çarpma değil, 12. kez 1/4 ile çarpma (yani 4’ün 12. kuvveti ile bölme) işlemi var.
Neden 13 ile çarpmıyoruz?
- Eğer soruda 13 tane boyalı parça varsa veya 13 parçanın toplam alanı sorulsaydı, o zaman 13 ile çarpma gerekirdi.
- Ancak burada her adımda sadece 1 parça boyanıyor, ve bu parça alanı öncekinin 1/4’ü oluyor.
-
- adımda boyalı alan sadece tek bir parçanın alanıdır, yani 13 ile çarpma yapılmaz.
Örnekle açıklama:
| Adım | Parça Sayısı | Her Parçanın Alanı | Boyalı Parça Sayısı | Boyalı Alan Formülü |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2^{22} | 1 | 2^{22} |
| 2 | 4 | \frac{2^{22}}{4} = 2^{20} | 1 | 2^{20} |
| 3 | 16 | \frac{2^{22}}{16} = 2^{18} | 1 | 2^{18} |
| … | … | … | … | … |
| 13 | 4^{12} | \frac{2^{22}}{4^{12}} = 2^{22 - 24} = 2^{-2} | 1 | 2^{-2} = \frac{1}{4} |
Özet:
-
- adımda boyalı alan tek bir parçanın alanıdır, bu yüzden 13 ile çarpılmaz.
- Eğer soruda 13 tane boyalı parça toplam alanı sorulsaydı, o zaman 13 ile çarpılırdı.
- Bu örüntüde her adımda sadece 1 parça boyanıyor, dolayısıyla alan geometrik dizi şeklinde azalıyor.
Sonuç olarak:
1. adımda 2^{22} alan var, 13. adımda boyalı alan ise 2^{22} \times \left(\frac{1}{4}\right)^{12} = \frac{1}{4} birim karedir.
Burada 13 ile çarpma işlemi yapılmaz.