Katlanmadan Sonra Kağıdın Görünen Yüzey Alanının ve Çevre Uzunluğunun Hesaplanması
Önemli Noktalar
- Verilen dikdörtgen kağıttan tam ortadan katlama yapılıyor.
- Katlandıktan sonra görünen yüzey alanı 45 cm² olarak verilmiş.
- Katlanmadan önce kağıdın alanı katlandıktan sonra yüzey alanının 2 katıdır.
- Soruda kağıdın en az kaç cm çevre uzunluğuna sahip olduğu soruluyor.
Katlanmadan önceki kağıdın alanı, katlandıktan sonraki görünür alanın iki katıdır:
Alan = 45 cm² × 2 = 90 cm²
Kağıdınız bir dikdörtgen ve kenar uzunlukları doğal sayı olarak verilmiştir. Bu durumda, alanı 90 olan iki doğal sayı çifti (en ve boy) bulunur:
- (1, 90)
- (2, 45)
- (3, 30)
- (5, 18)
- (6, 15)
- (9, 10)
Bu dikdörtgenlere göre çevre uzunlukları:
- 1x90 → Çevre = 2*(1+90) = 182 cm
- 2x45 → Çevre = 2*(2+45) = 94 cm
- 3x30 → Çevre = 2*(3+30) = 66 cm
- 5x18 → Çevre = 2*(5+18) = 46 cm
- 6x15 → Çevre = 2*(6+15) = 42 cm
- 9x10 → Çevre = 2*(9+10) = 38 cm
Katlanmanın uzun kenardan yapıldığı söylenmiş (görselden anlaşılıyor). Katlanınca alan yarıya iniyor ama en uzun kenardan katlandığı için uzunluk yarıya iniyor, kısa kenar değişmez. Katlamadan sonra görünen yüzeyin alanı 45 cm² ise, bu alan sonucu olarak kısa kenar ile uzun kenarın yarısı çarpımıdır.
Bu durumda:
Kısa kenar = x
Uzun kenarın yarısı = y/2
Bu durumda, x * (y/2) = 45 cm² → x * y = 90 cm² (katlamadan önceki tam alan)
Daha önce bulduğumuz alan 90 için olan tüm doğal sayı çifti seçeneklerine bakalım ve katlanma şekline göre ayıralım:
Katlanan kenar uzun olmalı, yani y en büyük olan kenar olmalı ve bu en uzun kenarın yarısı katlanmış alanın bir kenarı olmalı.
Seçenekler:
- (9,10) en uygun: uzunu 10, kısası 9. Katlama uzun kenardan yapılınca yeni alan 9*(10/2)=45 olur.
- (6,15) alan 90, ama uzun kenar 15, yarısı 7,5 cm, kısa kenar 6 → 6*7.5=45 doğru olur ama kısa kenar tam sayı olmak zorunda, uzun kenarın yarısı 7.5 cm olabilir, doğal sayı şartı sadece kenar orijinal kenar uzunlukları için geçerli katlanmış hali için değil.
Çevre açısından bakınca:
- (9,10) çevre = 2*(9+10) = 38 cm
- (6,15) çevre= 2*(6+15)= 42 cm
Bu durumda en düşük çevre 38 cm’dir. Soruda en az kaç cm denildiği için cevap C) 38 olmalıdır.
İçindekiler
- Sorunun Çözüm Adımları
- Katlama ve Alan İlişkisi
- Karşılaştırma Tablosu: Alan ve Çevre Değerleri
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Sorunun Çözüm Adımları
- Katlanmadan önceki kağıdın alanı, katlandıktan sonraki alanın iki katıdır.
- Katlandıktan sonra görünen alan 45 cm² verildiğine göre, katlanmadan önce alan 90 cm² olur.
- Kenar uzunları doğal sayılardır ve alan 90 cm² olduğuna göre tüm çarpan çiftleri bulunur: (1,90), (2,45), (3,30), (5,18), (6,15), (9,10).
- Katlama uzun kenardan yapıldığından, uzun kenarın yarısı katlanınca alan yarıya iner.
- Bu nedenle, kısa kenar ve uzun kenarın yarısı çarpımı 45 olmalıdır.
- Bu koşula uyup en küçük çevre uzunluğuna sahip çift (9,10) dur.
- Çevre uzunluğu 2*(9+10)=38 cm olur.
Pro Tip: Katlamalarda alan değişimi ile kenar uzunluklarının nasıl etkilendiğini görmek için kağıt modelleriyle pratik yapmak çok faydalıdır.
Katlama ve Alan İlişkisi
Katlama işleminde, kağıt bir kenarından tam ortadan katlandığında:
- Katlama yapılan kenar boyu yarıya iner.
- Diğer kenar uzunluğu aynı kalır.
- Bunun sonucunda kağıdın alanı yarıya düşer.
Alan hesaplama formülü:
Burada verilen 45 cm²’lik alan katladıktan sonraki görünür alan olduğundan,
Karşılaştırma Tablosu: Alan ve Çevre Değerleri
| Kenarlar (cm) | Alan (cm²) | Çevre (cm) | Katlama Sonrası Alan (cm²) | Uygun mu? |
|---|---|---|---|---|
| 1 x 90 | 90 | 182 | 45 | Evet |
| 2 x 45 | 90 | 94 | 45 | Evet |
| 3 x 30 | 90 | 66 | 45 | Evet |
| 5 x 18 | 90 | 46 | 45 | Evet |
| 6 x 15 | 90 | 42 | 45 | Evet |
| 9 x 10 | 90 | 38 | 45 | Evet |
En küçük çevreye sahip olan (9 x 10) kenar uzunluklarıdır.
Özet Tablo
| Öğe | Değer |
|---|---|
| Katlama sonrası alan | 45 cm² |
| Katlamadan önce alan | 90 cm² |
| Alanın asal çarpanları | 1x90, 2x45, 3x30… |
| En küçük çevre | 38 cm |
| Doğru cevap | C) 38 |
Sık Sorulan Sorular
1. Katlama kağıdın alanını neden yarıya indirir?
Katlama, kağıdı tam ortasından ikiye katladığı için, katlanan kenarın uzunluğu yarıya iner, dolayısıyla alan yarıya düşer.
2. Çevre uzunluğu neden önemli?
Özellikle bu tip sorularda, verilen alan ve kenar uzunluklarına uygun olan en küçük çevre sorulur; dikkat edilmelidir.
3. Kenar uzunlukları neden doğal sayı olmak zorunda?
Soru doğrudan doğal sayılar cinsinden uzunluk istediği için, alanın asal çarpanlarından doğal sayı çiftleri aranır, pratikte kesirli uzunluklar olası değildir.
Sonraki Adımlar
İsterseniz size benzer katlama ve alan ilişkisinin olduğu daha fazla problem seti veya basit geometri problemleri hazırlayabilirim. İlgilenir misiniz?
Katlamadan sonra görünen yüz alanı 45 cm² olan ve kenar uzunlukları doğal sayı olan dikdörtgenin, katlanmadan önce en az çevre uzunluğu nedir?
Temel Çıkarımlar
- Katlamadan önce dikdörtgenin kısa kenarı H ve uzun kenarı L doğal sayılardır.
- Katlama, uzun kenarın ortasından geçen dikey bir eksen boyunca gerçekleşir; böylece yeni genişlik L/2 olur.
- Katlandıktan sonra görünen alan 45\text{ cm}^2 olduğuna göre $$H\cdot\frac{L}{2}=45\quad\Longrightarrow\quad H,L=90.$$
Cevap
Katlamadan önceki dikdörtgenin en az çevre uzunluğu, H\,L=90 doğal sayı çarpanları arasında H=9, L=10 seçilerek
şeklinde bulunur.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Katladıktan sonra görünen dikdörtgenin boyutları:
- Yükseklik: H
- Genişlik: L/2
- Görünen alan formülü:H\times\frac{L}{2}=45\quad\Longrightarrow\quad H\,L=90.
- Doğal sayılardan oluşan (H,L) çarpan ikililerini listeleyin:(1,90),\,(2,45),\,(3,30),\,(5,18),\,(6,15),\,(9,10),\dots
- Uzun kenar L çift olmak zorunda (yarıya bölünebilmesi için). Uygun çift değerler:(H,L)=(1,90),(3,30),(5,18),(9,10),(15,6),(45,2).
- Herinin çevresini hesaplayın:P=2(H+L)Bunlardan en küçük olanı H=9, L=10 için $P=38,$cm’dir.
Karşılaştırma Tablosu
| Özellik | Orijinal Dikdörtgen | Katlanmış Dikdörtgen |
|---|---|---|
| Boyut | H\times L | H\times\frac{L}{2} |
| Alan | H\,L | H\,\dfrac{L}{2}=45 |
| Çevre | 2(H+L) | 2\bigl(H+\tfrac{L}{2}\bigr)=2H+L |
Özet Tablo
| Değişkenler | Formül | Sonuç |
|---|---|---|
| Alan denklemi | H\cdot\dfrac{L}{2}=45 | H\,L=90 |
| Uygun çarpanlar | – | (H,L)=(9,10) |
| En küçük çevre | 2(H+L) | $2(9+10)=38,$cm |
SSS
S1: Neden L mutlaka çift olmalı?
C1: Katlama uzun kenarın tam ortasından yapıldığı için L/2 bir tam sayı olmalı.
S2: Çarpanlar listesi nasıl bulunur?
C2: 90 sayısının doğal sayı çarpanlarını, $1$’den başlayarak kontrol ederek elde edersiniz.
S3: Neden H=9, L=10 seçildi?
C3: Bu ikili hem HL=90 koşulunu sağlıyor hem de çevre $P=2(9+10)=38,$cm ile en küçük oluyor.
Bir de farklı bir alan değeri (72, 84 gibi) için benzer katlama sorusu çözmemi ister misiniz?
@İpek13