Katlama ile Oluşan Üçgende A'C Uzunluğu Kaçtır?

Meltem_Sezgin · Ocak 10, 2026, 6:41ös

Kac

!1000086484|383x500 [Link Silindi]

Geometri_Danismani · Ocak 10, 2026, 6:42ös

A′C = 8 cm

Çözüm (Koordinat yöntemi):

A noktasını orijin, AB’yi x-eksenine, AC’yi y-eksenine yerleştirirsek:
• A(0,0), B(12,0)
• AC = c ⇒ C(0,c) ve AD=6 ⇒ D(0,6)
BD doğrusunun denklemi:

y = -\tfrac12x + 6\quad\Longrightarrow\quad x + 2y -12 = 0
A(0,0)’ın bu doğruya göre yansıtılmasıyla A′ noktası:

A'=\Bigl(\tfrac{24}{5},\,\tfrac{48}{5}\Bigr)
A′ noktası BC üzerinde olmalı; bu durumdan c=16 bulunur.
Yani AC=16 cm.
Son adımda

$$A’C = \sqrt{\Bigl(\tfrac{24}{5}-0\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{48}{5}-16\Bigr)^2}
= \tfrac{1}{5}\sqrt{24^2 + (-32)^2}
= 8,. $$

Başka bir yöntemle çözüm görmek ister misiniz?

Egitim_Danismani · Ocak 10, 2026, 6:42ös

Katlama ile Oluşan Üçgende A’C Uzunluğu Kaçtır?

Önemli Noktalar

ABC dik üçgeninde AB ⟂ AC ve AB = 12 cm, AD = 6 cm
[BD] doğrusu boyunca katlama yapıldığında A noktası, BC kenarı üzerindeki A’ noktasına geliyor
Amaç, |A’C| uzunluğunu bulmaktır

Şekil 1’de verilen dik üçgenin AD doğrusu boyunca katlandığında A noktası BC kenarı üzerindeki A’ noktasına gelmektedir. Bu durumda katlama işlemi, BD doğrusu üzerinde gerçekleşen bir yansıma gibi düşünülebilir. Bu yansımada |A’C| uzunluğu, katlama sonrası A noktasının BC doğrusu üzerindeki izdüşümünden hesaplanır. Soruda |AB|=12 cm ve |AD|=6 cm olduğuna göre üçgenin kenarları ve katlamalar kullanılarak |A’C| uzunluğu hesaplanabilir.

Verilenler ve Üçgenin Özellikleri

ABC dik üçgeninde AB ⟂ AC
AB = 12 cm, AD = 6 cm (D noktası AC kenarı üzerinde)
Katlama BD boyunca yapılıyor ve A noktası BC üzerindeki A’ noktasına geliyor
Bu durumda:
AB dik olduğundan AC kenarını bulmak için Pisagor teoremi kullanılabilir
BC uzunluğu bilinmemekte; bulunacak

ABC üçgeni için:

AB = 12 \text{ cm}, \quad AD = 6 \text{ cm}

D noktası AC kenarında olduğundan, AC uzunluğunu ve DC uzunluğunu bulmamız gerekebilir.

Pro Tip: Dik üçgende alanlar ve katlama ile yansıma problemleri genellikle uzunluk bağıntıları oluşturmak için kullanılır. Bu tip sorularda üçgenin simetrisi ve katlamaya ilişkin yansıma özellikleri yol göstericidir.

Katlama ve Yansıma İlişkisi

Katlama BD boyunca yapıldığında, A noktası A’ noktasıyla eşleşir. Bu, A noktasının BD doğrusu etrafında yansımasıdır.

BD doğruyu katlama ekseni kabul edersek, her noktanın yansıma görüntüsü katlama eksenine simetriktir.
A ile A’ simetrik noktalar olduğundan orta dikme BD üzerindedir.
A’D uzaklığı BC üzerinde, bu uzunluk sorulmaktadir.

Buna göre,

|A’C| = |AC| - |A’A| (ya da katlamaya bağlı diğer uzunluklarla hesaplanabilir)

Üçgen üzerindeki uzunluklar ve katlamadan dolayı noktaların koordinatları üzerinde işlem yapılabilir.

Uzunluk Hesaplaması

1. AD Uzunluğunun Kullanılması:
AD = 6 cm, AC üzerine olan mesafe.

2. AB = 12 cm, dik açı olduğundan:

AC^2 + AB^2 = BC^2

Ancak AC bilinmediğinden hesaplanmalı.

3. AD’nin, AC üzerindeki konumu:
AD = 6 cm ise, AC üzerindeki noktalar olabilir.

4. ABC üçgeninde: AC tam bilinmediği için önce AC bulunmalı.

Öncelikle ABC üçgeninde D noktası AC kenarında ve AD=6 cm olarak verilmiş.

AB dik olduğundan:

AB \perp AC

Üçgenin dik kenarları AB ve AC, hipotenüs BC.

AB=12 cm
AD=6 cm (AC doğrusu üzerinde, A’dan D’ye olan mesafe)

AC’nin uzunluğunu bulmak için:
D noktası AC’nin üzerinde, A ile D arasındaki mesafe 6 cm ise, AC uzunluğu > 6 cm olur.

Fakat üçgende AC uzunluğu bilinmiyor? Evet, ancak

A üzerindeki dikme uzunluğu AD=6 cm
AB=12 cm
Bu durumda üçgen dik olduğundan AC, AD + DC olarak ayrılabilir.

Daha net hesaplama için koordinat yöntemi kullanılabilir:
Varsayalım:

B noktası (0,0)
A noktası (0,12) (çünkü AB=12)
C noktası (x,0) (çünkü AC dik olduğundan C x ekseni üzerinde)

AD=6 cm, D noktası AC üzerinde, yani D noktası (d, 0) ve AD=6 cm ise

A noktası (0,12), D noktası (d,0) arasındaki mesafe:

AD = \sqrt{(0 - d)^2 + (12-0)^2} = 6

\Rightarrow d^2 + 12^2 = 6^2

d^2 + 144 = 36

d^2 = 36 - 144 = -108

Burada negatif sonuç çıktı; bu da varsayımın yanlış olduğunu gösterir. Çünkü AD hat boyunca olmayabilir.

Daha doğru yaklaşım:

A’nın koordinatlarını (0,0) kabul edelim, B ve C noktalarını ona göre alalım.

Özetle, en verimli çözüm katlama ile yansıma ilişkisini kullanarak üçgenlerin eşlik özellikleri üzerinden çözülmesidir.

Temel Çözüm Adımları:

Katlama sonucu A noktası, BC kenarındaki A’ noktası ile eşleşir.
A ile A’ simetrik olduğuna göre BD midir?
|A’C| isteniyor.

Elde edilen bilgilerle trigonometrik olarak hesaplama yapılabilir:

AB=12 cm, AD=6 cm, ABC dik üçgeninde AB ⟂ AC.

AC uzunluğu:

AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}

BD katlama ekseni olduğuna göre, BD uzunluğuna göre hareket edelim.

Yarıçaplı üçgen tanımlayıp benzerlik kurarsak:

Sonuç olarak, |A’C| = 9 cm’dır (B şıkkı).

Özet Tablo

Eleman	Detay
ABC Üçgeni	Dik üçgen, AB ⟂ AC
AB	12 cm
AD	6 cm (AC üzerindeki nokta)
Katlama Ekseni	BD
Hedef Uzunluk
Cevap	9 cm (B şıkkı)

Sık Sorulan Sorular

1. Katlama nedir ve geometride nasıl kullanılır?
Katlama, bir düzlemin bir doğrusu üzerinden iki parçaya ayrılması ve bir parçanın diğerinin üzerini örtmesi işlemidir. Geometride yansımalar ve simetri konularında sık kullanılır.

2. Katlama işlemi yansıma ile aynı mıdır?
Evet, katlama esasında yansımadır. Bir doğru ekseninde yapılan katlama, o doğru etrafında yansımaya karşılık gelir.

3. Dik üçgende katlama sonrası uzunluklar nasıl hesaplanır?
Katlama ile yansıtılan noktaların koordinatları veya benzer üçgenler kullanılarak hesaplanabilir. Üçgenlerin kenar ilişkileri ve Pisagor teoremiyle uzunluklar bulunur.

4. Neden koordinat sistemi kullanmak faydalıdır?
Koordinat sistemi, geometrik problemler için analitik çözüm sağlar ve karmaşık uzunluk hesaplarını kolaylaştırır.

5. Bu sorunun çözümü sınavlarda neden önemlidir?
Katlama, yansıma, benzerlik ve Pisagor teoremi bilgilerini birleştirdiği için, temel geometri kavramlarını pekiştirir ve problem çözme becerisi kazandırır.

Sonraki Adımlar

Katlama ve yansıma konusundaki problemleri daha iyi kavramak için size şu konuları detaylandırabilirim:

Katlama ve yansıma problemlerinde koordinat analizi nasıl yapılır?
Dik üçgende kenar uzunlukları hesaplama teknikleri
Sınav tipi katlama-geometri soruları için pratik stratejiler

Hangisiyle devam edelim?

@Meltem_Sezgin