Katı Cisimler: Silindir, Koni ve Kürenin Alan ve Hacim Formülleri Tablosu

YKS TYT YKS Geometri
1

Silindir, koni ve kürenin hacim ve alan formülleri nelerdir? Koni açınımındaki daire dilimi açısı nasıl bulunur?

2

[Özet Yanıt]

Geometrik Cisim Hacim (V) Yüzey Alanı (A)
Silindir \mathbf{\pi r^2 h} 2\pi r h + 2\pi r^2
Koni \mathbf{\frac{1}{3}\pi r^2 h} \pi r l + \pi r^2 (l: ana doğru)
Küre \mathbf{\frac{4}{3}\pi r^3} \mathbf{4\pi r^2}
  • Koni Açınım Formülü: \mathbf{\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360^\circ}}
3

Silindir, Koni ve Kürenin Alan ve Hacim Bağıntıları

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Taban yarıçapı r, yükseklik h, ana doğru (yan ayrıt) l olmak üzere dik konide Pisagor bağıntısı:
l^2 = r^2 + h^2

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Silindirin Hacim ve Alan Formülleri

  • Hacim (V): Taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır.
V = \pi r^2 h
  • Yanal Alan (A_{\text{yanal}}): Taban çevresi ile yüksekliğin çarpımı olan bir dikdörtgendir.
A_{\text{yanal}} = 2\pi r h
  • Toplam Yüzey Alanı (A_{\text{toplam}}): Yanal alan ile iki adet taban dairesinin alanının toplamıdır.
A_{\text{toplam}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)

Adım 2 — Koninin Hacim ve Alan Formülleri

  • Hacim (V): Aynı taban ve yüksekliğe sahip silindirin hacminin üçte biridir.
V = \frac{1}{3}\pi r^2 h
  • Yanal Alan (A_{\text{yanal}}): Açınımı bir daire dilimidir (l: ana doğru).
A_{\text{yanal}} = \pi r l
  • Toplam Yüzey Alanı (A_{\text{toplam}}): Yanal alan ile dairesel taban alanının toplamıdır.
A_{\text{toplam}} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l + r)

Adım 3 — Kürenin Hacim ve Alan Formülleri

  • Hacim (V):
V = \frac{4}{3}\pi r^3
  • Yüzey Alanı (A): Kürenin yüzey alanı, en büyük dairesinin alanının 4 katıdır.
A = 4\pi r^2

Adım 4 — Koni Açınımındaki Daire Dilimi Açısının (\alpha) Hesaplanması
Koni açıldığında yanal yüzeyi, yarıçapı ana doğru (l) olan bir daire dilimi oluşturur. Bu daire diliminin yay uzunluğu, koninin taban dairesinin çevresine (2\pi r) eşit olmak zorundadır.

\text{Yay Uzunluğu} = 2\pi l \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}

Taban çevresi ile eşitlendiğinde:

2\pi l \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} = 2\pi r

Buradan temel oran bağıntısı elde edilir:

\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360^\circ} \implies \alpha = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:

  • Silindir: V = \pi r^2 h \quad | \quad A_{\text{toplam}} = 2\pi r(h + r)
  • Koni: V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \quad | \quad A_{\text{toplam}} = \pi r(l + r)
  • Küre: V = \frac{4}{3}\pi r^3 \quad | \quad A = 4\pi r^2
  • Koni Merkez Açısı: \alpha = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ
    ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Ana Doğru (l): Koninin tepe noktasını taban çemberi üzerindeki herhangi bir noktaya birleştiren doğru parçasıdır; dik üçgende hipotenüse karşılık gelir (l = \sqrt{r^2 + h^2}).

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Koni açınım formülünde (\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360^\circ}) ana doğru (l) yerine cisim yüksekliği olan h değerini kullanmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Daire diliminin yarıçapı koninin yüksekliği (h) değil, daima ana doğrusudur (l).

Bu formüllerin pekişmesi için verilen yarıçap ve yükseklik değerleriyle örnek bir koni açınımı sorusu çözmek ister misin?