6
Kat yükseklikleri eşit olan dört ve üç katlı iki binanin gölge
boyları ölçülmüş ve aşağıdaki gibi sırasıyla 16 ve 9 metre
hesaplanmiştır.
A)
16 m
Şekildeki işınlar birbirine dik olduğuna göre bu
IŞInlarıin zemine oluşturdukları dar açıların tanjantları
toplamı kaçtır?
V3
4
5/3
12
9 m
Yer
D) E)
7/3
Binaların Gölge Boyları ve Trigonometrik Oranlar
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir dik üçgende dar açının tanjantı:\tan\theta = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}
- Birbirini 90^\circ’ye tamamlayan (tümler) açıların tanjant ve kotanjant ilişkisi:\alpha + \beta = 90^\circ \implies \tan\beta = \cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} \implies \tan\alpha \cdot \tan\beta = 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kat Yüksekliklerine Göre Binaların Boylarını ve Tanjant Değerlerini Tanımlama
Her bir katın yüksekliğine h diyelim:
- 4 katlı binanın yüksekliği: H_1 = 4h
- 3 katlı binanın yüksekliği: H_2 = 3h
Sol ve sağ taraftaki ışınların zeminle yaptıkları dar açılara sırasıyla \alpha ve \beta diyelim. Binaların zemine dik (90^\circ) olduğu dikkate alındığında gölge üçgenlerinden:
\tan\alpha = \frac{H_1}{16} = \frac{4h}{16} = \frac{h}{4}
\tan\beta = \frac{H_2}{9} = \frac{3h}{9} = \frac{h}{3}
Adım 2 — Işınlar Arasındaki Diklikten Faydalanarak h Değerini Bulma
Işık kaynağından çıkan iki ışın birbirine diktir (90^\circ). Bu iki ışın ile yatay zemin bir üçgen oluşturur. Üçgenin iç açıları toplamı 180^\circ olduğundan:
\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ \implies \alpha + \beta = 90^\circ
Birbirini 90^\circ’ye tamamlayan açıların tanjantları çarpımı 1’e eşittir:
\tan\alpha \cdot \tan\beta = 1
\left(\frac{h}{4}\right) \cdot \left(\frac{h}{3}\right) = 1
\frac{h^2}{12} = 1 \implies h^2 = 12 \implies h = 2\sqrt{3}\text{ m}
Adım 3 — Tanjantlar Toplamını Hesaplama
Bulunan h = 2\sqrt{3} değerini açılarda yerine yazalım:
\tan\alpha = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\tan\beta = \frac{2\sqrt{3}}{3}
Bu iki dar açının tanjantları toplamı:
\tan\alpha + \tan\beta = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{3}
Paydaları 6’da eşitleyelim:
\tan\alpha + \tan\beta = \frac{3\sqrt{3}}{6} + \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{7\sqrt{3}}{6}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) \mathbf{\dfrac{7\sqrt{3}}{6}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Tümler Açılar: Toplamları 90^\circ olan açılardır; birinin tanjantı diğerinin kotanjantına eşittir (\tan\alpha = \cot\beta).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Binaların tepe noktaları arasındaki mesafeyi veya ışık kaynağının tam orta noktada olduğunu varsayarak işlem yapmak.- Doğru Yaklaşım: Işık kaynağının konumu ne olursa olsun, iki ışın arasındaki açı 90^\circ olduğundan taban açılarının toplamının doğrudan 90^\circ yapacağını fark etmek.
Benzer bir trigonometri ve geometri pekiştirme sorusu çözmek ister misin?