Karışım Problemleri: Yüzde ve Alkol/Şeker Oranı Hesaplama Kabı Yöntemi

YKS TYT YKS Matematik
1

%20’lik 40 gram tuzlu su ile %40’lık 60 gram tuzlu su karıştırılırsa yeni karışımın tuz oranı yüzde kaç olur? Kap yöntemi nasıl çizilir?

2

[Özet Yanıt]

Karışım problemlerinde en hatasız metot Kap Formülüdür:

\mathbf{m_1 \cdot y_1 + m_2 \cdot y_2 = (m_1 + m_2) \cdot y_{\text{son}}}

Burada m karışım kütlesi, y ise saf madde yüzdesidir.

  • Saf su eklenirse yüzdesi %0 alınır.
  • Saf tuz/şeker eklenirse yüzdesi %100 alınır.
  • Su buharlaştırılırsa formülde eksi işareti kullanılır.

Örnek Çözümü:

40 \cdot 20 + 60 \cdot 40 = (40 + 60) \cdot y_{\text{son}}
800 + 2400 = 100 \cdot y_{\text{son}} \implies 3200 = 100 \cdot y_{\text{son}} \implies \mathbf{y_{\text{son}} = \%32}
3

Karışımların Birleştirilmesi ve Kap Yöntemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

\text{Karışım Formülü: } m_1 \cdot y_1 + m_2 \cdot y_2 = m_{\text{toplam}} \cdot y_{\text{son}}
\text{Toplam Madde Miktarı: } m_{\text{toplam}} = m_1 + m_2

(Burada m karışımın kütlesini, y ise karışımdaki tuz yüzdesini ifade eder.)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kap Yönteminin Modellenmesi
Kap yönteminde her bir karışım için bir dikdörtgen veya kap çizilir. Kabın içine yüzde oranı, altına ise toplam kütle yazılır:

    ┌───────┐         ┌───────┐         ┌───────┐
    │  %20  │         │  %40  │         │  %x   │  <-- Yüzdeler (Kabın içine)
    └───┬───┘         └───┬───┘         └───┬───┘
       40 g      +       60 g      =      100 g    <-- Kütleler (Kabın altına)
    (1. Kap)           (2. Kap)         (Son Kap)

Adım 2 — Kap İçi ile Kütlenin Çarpımı Denklemi
Her kabın içindeki yüzde ile altındaki kütle birbiriyle çarpılarak eşitlik kurulur:

(40 \cdot 20) + (60 \cdot 40) = (40 + 60) \cdot x

Adım 3 — Matematiksel İşlemin Yapılması
Sol taraftaki saf tuz miktarlarını ve sağ taraftaki toplam kütleyi düzenleyelim:

800 + 2400 = 100 \cdot x
3200 = 100 \cdot x
x = \frac{3200}{100} = 32

Karışımın yeni tuz oranı \%32 olarak bulunur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: \%32
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Kap Yöntemi: Karışım problemlerinde saf madde miktarını tek tek kesirlerle bulmak yerine, (\text{kütle} \times \text{yüzde}) değerlerinin toplamını nihai (\text{toplam kütle} \times \text{yeni yüzde}) değerine eşitleyen pratik görselleştirme tekniğidir.
  • Ağırlıklı Ortalama: Yeni karışımın yüzdesi (\%32), kütlesi daha fazla olan \%40’lık karışıma daha yakındır (|32 - 20| = 12, |40 - 32| = 8).

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Yüzdelerin doğrudan aritmetik ortalamasını almak: \frac{20 + 40}{2} = 30.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Karışımların kütleleri eşit olmadığından aritmetik ortalama alınamaz; kütleler hesaba katılarak ağırlıklı ortalama (kap yöntemi) uygulanmalıdır.

Bu konuyu daha iyi pekiştirmek için içine saf su veya saf tuz eklenen farklı bir karışım sorusu çözmek ister misin?