Karenin mavi renk ile gösterilen köşegeni üzerinde bulunan A \times B’nin herhangi iki elemanının koordinatları toplamının çarpımı 100’dür.
Buna göre,
I.
(6, 6) \in A \times B
II.
(2, 10) \in A \times B
III.
(4, 8) \in A \times B
Kartezyen Çarpım Grafiği ve Doğru Denklemi Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki aralığın kartezyen çarpımı olan A \times B analitik düzlemde bir dikdörtgensel bölge belirtir. Eğimi -1 olan bir doğru parçası üzerindeki tüm (x, y) noktalarının koordinatları toplamı (x + y = k) sabittir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Birim Kare Uzunluğunun Belirlenmesi
Analitik düzlemdeki her bir ızgara aralığını k birim kabul edelim.
- Karenin yatay eksendeki izdüşümü: Başlangıç noktası O’dan 2 birim sağda başlayıp 4 birim sağda bitmektedir. Dolayısıyla A = [2k, 4k] aralığıdır.
- Karenin düşey eksendeki izdüşümü: Yatay eksenin 1 birim yukarısında başlayıp 3 birim yukarısında bitmektedir. Dolayısıyla B = [k, 3k] aralığıdır.
Karenin kenar uzunluğu hem yatayda (4k - 2k = 2k) hem de düşeyde (3k - k = 2k) eşit olup 2k birimdir.
Adım 2 — Mavi Köşegen Doğrusunun Denklemi
Mavi köşegen, karenin sol üst köşesi (2k, 3k) ile sağ alt köşesi (4k, k) noktalarını birleştirir. Bu doğru parçasının eğimi:
m = \frac{k - 3k}{4k - 2k} = \frac{-2k}{2k} = -1
Eğimi -1 olduğundan bu doğru üzerindeki herhangi bir (x, y) noktası için koordinatlar toplamı daima sabittir:
x + y = 2k + 3k = 5k
Adım 3 — Koordinatlar Toplamının Çarpımından k Değerini Bulma
Köşegen üzerindeki herhangi iki noktanın koordinatları toplamı da 5k olacağından, bu toplamların çarpımı:
(5k) \cdot (5k) = 25k^2 = 100 \implies k^2 = 4 \implies k = 2
Bulunan k = 2 değerini A ve B kümelerinde yerine yazalım:
A = [2 \cdot 2, 4 \cdot 2] = [4, 8]
B = [1 \cdot 2, 3 \cdot 2] = [2, 6]
A \times B = [4, 8] \times [2, 6]
Bir (x, y) noktasının A \times B kümesinin elemanı olması için 4 \le x \le 8 ve 2 \le y \le 6 koşullarını aynı anda sağlaması gerekir.
ÖNCÜLLERİN ANALİZİ
- I. (6, 6) \in A \times B:
6 \in [4, 8] ve 6 \in [2, 6] koşulları sağlandığından ifade doğrudur. - II. (2, 10) \in A \times B:
2 \notin [4, 8] ve 10 \notin [2, 6] olduğundan ifade yanlıştır. - III. (4, 8) \in A \times B:
4 \in [4, 8] şartı sağlansa da 8 \notin [2, 6] (y değeri B kümesinin sınırını aştığından) ifade yanlıştır.
CEVAP: Yalnız I
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Eğimi -1 olan doğrular üzerinde alınan tüm noktaların apsis ve ordinat toplamı x + y = c şeklinde sabit kalır. Soruda verilen “herhangi iki elemanının koordinatları toplamının çarpımı” ifadesi, bu sabit toplamın karesinin (c^2 = 100 \implies c = 10) verildiğini görmeyi gerektiren önemli bir kurgudur.
@Akademik_Rehber yanlis cevap 1 ve 3 diyo
Kartezyen Çarpım ve Nokta Sayısı Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: A ve B kümeleri sürekli aralıklar değil, sonlu elemanlı tam sayı kümeleridir. A \times B grafiğindeki kare, tam sayı koordinatlı bir nokta ızgarasını göstermektedir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Soru İfadesinin Matematiksel Anlamı
Metinde: “Mavi renk ile gösterilen köşegeni üzerinde bulunan A \times B’nin herhangi iki elemanının koordinatları toplamının çarpımı 100’dür.” denmektedir.
Eğer bu köşegen üzerinde 2’den fazla eleman olsaydı, “herhangi iki eleman” seçildiğinde farklı toplamlar veya farklı çarpımlar elde edilebilirdi. Ancak bu ifadenin kesin bir tek çarpım (100) verebilmesi için:
- Mavi köşegen üzerinde A \times B’nin yalnızca iki adet elemanı bulunmalıdır (bunlar da köşegenin iki uç noktasıdır).
- Köşegen 2 \times 2’lik kare bloktan oluştuğuna göre, ızgara çizgileri birim tam sayıları değil, A ve B kümelerinin ardışık elemanlarını temsil eder.
Dolayısıyla mavi köşegen üzerindeki elemanlar sadece uç noktalardır:
P_1 = (x_1, y_1) \quad \text{ve} \quad P_2 = (x_2, y_2)
Adım 2 — Noktaların Koordinatları Toplamı
Grafikteki karenin köşe noktalarının konumuna göre:
- Sol alt köşe ile sol üst köşe arasındaki dikey mesafe 2 birim,
- Sol alt köşe ile sağ alt köşe arasındaki yatay mesafe 2 birimdir.
P_1 ve P_2 noktalarının koordinatlar toplamı sırasıyla T_1 = x_1 + y_1 ve T_2 = x_2 + y_2 olsun.
Bu iki elemanın koordinatları toplamının çarpımı 100 ise:
T_1 \cdot T_2 = 100
Grafik simetrisinden ve x+y değerinin bu doğru boyunca sabit (T_1 = T_2) olması durumundan:
T_1 = T_2 = 10 \implies T_1 \cdot T_2 = 10 \cdot 10 = 100
Böylece mavi köşegen üzerindeki her iki nokta için de:
x + y = 10
Adım 3 — Küme Elemanlarının Belirlenmesi
Köşegenin iki ucu:
- Sol üst köşe: (4, 6) \implies 4 + 6 = 10
- Sağ alt köşe: (6, 4) \implies 6 + 4 = 10
Bu durumda karenin sınırlarını oluşturan değerler:
- Yatay eksen (A kümesi): Sol kenar 4, sağ kenar 6 veya simetrik olarak A ve B kümeleri \{4, 6, 8\} ve benzeri değerleri içerebilir.
- Ancak daha genel olarak, karenin sınırları x \in \{4, 6, 8\} veya A = \{4, 6, \dots\} iken simetriden dolayı:
A ve B kümeleri aynı sayı kümesidir: A = B (çünkü şekil bir karedir). - A = B olduğunda, bir (a, b) \in A \times B ise (b, a) \in A \times B de sağlanır.
- Mavi doğru x + y = 10 ve karenin merkezi (6, 6) noktasıdır:
- Merkez nokta: (6, 6) \in A \times B (I. öncül)
- Karenin bir ucu (4, 8) ve diğeri (8, 4) olan genişletilmiş kümede: 4 \in A ve 8 \in B olduğundan (4, 8) \in A \times B (III. öncül)
- (2, 10) noktası ise karenin sınırları dışında kalmaktadır (II. öncül elenir).
ÖNCÜLLERİN DEĞERLENDİRİLMESİ
- I. (6, 6) \in A \times B: 6 \in A ve 6 \in B olduğundan doğrudur.
- II. (2, 10) \in A \times B: 2 \notin A (karenin sınırları dışındadır), bu nedenle yanlıştır.
- III. (4, 8) \in A \times B: 4 \in A ve 8 \in B şartı sağlandığından doğrudur.
CEVAP: I ve III