Kareköklü İfadeler
Alanı 1050cm^2 olan kare şeklindeki bir panoya kenarlarından birinin uzunluğu 5 'in tam sayı kuvveti, diğerinin uzunluğu 2’nin tam sayı kuvveti olan dikdörtgen şeklindeki bir afiş, pano yüzeyinden taşmayacak şekilde asılacaktır.
Buna göre afişin bir yüzünün alanı en fazla kaç santimetrekaredir?
A) 1000
B) 800
C) 640
D) 400
(2020 / LGS)
Kareköklü İfadelerde Aralık Bulma ve Dikdörtgen Alanı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Alanı A olan bir karenin bir kenar uzunluğu \sqrt{A} formülüyle bulunur. Dikdörtgenin kenarlarının kare panodan taşmaması için her iki kenar uzunluğunun da panonun bir kenar uzunluğuna eşit veya ondan küçük olması gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kare Panonun Kenar Uzunluğunun Aralığını Belirleme
Alanı 1050\text{ cm}^2 olan kare panonun bir kenar uzunluğu \sqrt{1050}\text{ cm}'dir. 1050 sayısının hangi iki tam kare sayı arasında olduğunu belirleyelim:
32^2 = 1024 \quad \text{ve} \quad 33^2 = 1089
32 < \sqrt{1050} < 33
Panonun bir kenar uzunluğu yaklaşık olarak 32,4\text{ cm}'dir. Afişin panodan taşmaması için kenar uzunlukları en fazla 32\text{ cm} olmalıdır.
Adım 2 — Afişin Kenar Uzunluklarının En Büyük Değerlerini Bulma
Afişin kenarlarından biri 5’in, diğeri 2’nin pozitif tam sayı kuvvetidir:
- 5’in kuvveti olan kenar: 5^1 = 5, 5^2 = 25, 5^3 = 125 (125 > 32 olduğundan taşar). Alınabilecek en büyük kenar uzunluğu 5^2 = 25\text{ cm} olur.
- 2’nin kuvveti olan kenar: 2^4 = 16, 2^5 = 32, 2^6 = 64 (64 > 32 olduğundan taşar). Alınabilecek en büyük kenar uzunluğu 2^5 = 32\text{ cm} olur.
Adım 3 — Afişin Maksimum Alanını Hesaplama
Afişin alanının en büyük olması için bulunan en büyük kenar uzunlukları çarpılır:
\text{Alan} = 25 \times 32 = 800\text{ cm}^2
CEVAP: B) 800 (\text{Alan} = 25 \times 32 = 800\text{ cm}^2)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Kenarların çarpımının 1050’den küçük olması yeterli değildir; afiş kare panoya asılacağı için her iki kenarın ayrı ayrı \sqrt{1050} \approx 32,4\text{ cm} sınırını aşmaması gerektiğine dikkat edilmelidir.